ЛЕКЦИЯ 11

ВВЕРХ

Метод скользящих средних

Прогнозирование на основе моделей временных рядов

Понятие об авторегрессионных моделях и моделях скользящей средней

Упражнения

Главная страница раздела 1

Главная страница раздела 2

Задание 1

Задание 2

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши.

ЛЕКЦИЯ 11

Метод скользящих средних

   Другим методом выравнивания (сглаживания) временного ряда, т. е. выделения неслучайной составляющей, является метод скользящих средних. Он основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени "скользит" вдоль ряда.
   Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда. Действительно, если индивидуальный разброс значений члена временного ряда y_t около своего среднего (сглаженного) значения а характеризуется дисперсией σ², то разброс средней из m членов временного ряда (у₁ + у₂ +... + у_m)/m около того же значения а будет характеризоваться существенно меньшей величиной дисперсии, равной σ²/m. Для усреднения могут быть использованы средняя арифметическая (простая и с некоторыми весами), медиана и др.
   Пример 1. Провести сглаживание временного ряда

Год, t	1	2	3	4	5	6	7	8
Спрос, y _t	213	171	291	309	317	362	351	361

методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания m = 3 года.
Решение. Скользящие средние находим по формуле

, когда m = (2p + 1) — нечётное число; при m = 3, р = 1.
Например, при t = 2 получим

; при t = 3 получим

и т.д. В результате получим сглаженный ряд:

Год, t	1	2	3	4	5	6	7	8
Спрос, y_t	—	225	257	306	329	343	258	—

На рисунке этот ряд представлен графически в виде пунктирной линии.

Прогнозирование на основе моделей временных рядов

   Одна из важнейших задач анализа временного ряда состоит в прогнозировании на его основе развития изучаемого процесса. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена на будущий период.
   Задача ставится так: имеется временной (динамический) ряд y_t( t = 1, 2,...,n) и требуется дать прогноз уровня этого ряда на момент n + τ.
   Выше был рассматрен точечный и интервальный прогноз значений зависимой переменной Y полученных для парной и множественной регрессий для значений объясняющих переменных X, расположенных вне пределов обследованного диапазона значений X.
   Если рассматривать временной ряд как регрессионную модель изучаемого признака по переменной «время», то к нему могут быть применены рассмотренные выше методы анализа. Следует, однако, помнить, что одна из основных предпосылок регрессионного нализа состоит в том, что возмущения ε_t (t = 1, 2,..., n) представляют собой независимые случайные величины с математическим ожиданием (средним значением), равным нулю. При работе с временными рядами такое допущение оказывается во многих случаях неверным.
   Здесь мы полагаем, что возмущения ε_t (t = 1, 2,..., n) удовлетворяют предпосылкам регрессионного анализа, т. е. условиям нормальной классической регрессионной модели.
   Рассмотрим пример. По данным таблицы примера 1 дать точечную и с надёжностью 0,95 интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений спроса на некоторый товар на момент t = 9.
   Решение. Выше получено уравнение регрессии ŷ_t = 181,32 + 25,679 t, то есть спрос ежегодно увеличивается на 25,7 единиц. Надо оценить условное математическое ожидание M_t=9(Y) = y(9). Оценкой y(9) является групповая средняя ŷ_t=9 = 181,32 + 25,679·9 = 412,4 (ед). Найдём оценку s² дисперсии σ²

. Вычислим среднюю

По формуле

вычислим оценку дисперсии групповой средней

По таблице t – распределений найдём t_{0,05; 6} = 2,447. Теперь по формуле

интервальная оценка прогноза среднего значения спроса имеет вид: 412,4 - 2,447·23,72 ≤ y(9) ≤ 412,4 + 2,447·23,72 или 347,0496116 ≤ y(9) ≤ 477,8075314. Для нахождения интервальной оценки прогноза индивидуального значения у ^*(9) вычислим дисперсию его оценки по формуле

а затем по формуле

найдём интервальную оценку для у ^*(9) 412,4 - 2,447·43,4696 ≤ у ^* ≤ 412,4 + 2,447·43,4696 или 306,0584137 ≤ у ^*(9) ≤ 518,7987293 (ед) Итак, с надёжностью 0,95 среднее значение спроса на товар на девятый год будет заключаться в интервале от 347 до 477,8 (ед.), а его индивидуальное значение от 306 до 518,8 (ед.).
Прогноз развития изучаемого процесса на основе экстраполяции временных рядов может оказаться эффективным, как правило, в рамках краткосрочного, в крайнем случае, среднесрочного периода прогнозирования.

Понятие об авторегрессионных моделях и моделях скользящей средней

   Для данного временного ряда далеко не всегда удаётся подобрать адекватную модель, для которой ряд возмущений ε_t будет удовлетворять основным предпосылкам регрессионного анализа. Выше рассматривались задачи, в которых объясняющей переменной являлось «время». В экономике достаточно широкое распространение получили и другие регрессионные модели, в которых объясняющими переменными выступают лаговые переменные, т. е. переменные, влияние которых в эконометрической модели характеризуются некоторым запаздыванием. Еще одним отличием рассматриваемых в этом параграфе регрессионныx моделей является то, что представленные в них объясняющие переменные являются величинами случайными.
   Авторегрессионная модель р – го порядка имеет вид y_t = β₀ + β₁y_{t - 1} + β₂ y_t-2 + … + β_p y_{t - p} + ε_t ( t = 1, 2, … , n), где β₀, β₁, … , β_р – некоторые константы.
   Она описывает изучаемый процесс в момент t в зависимости от его значений в предыдущие моменты t – 1, t – 2, …, t – p. Если исследуемый процесс в момент t определяется его значениями только значениями в предшествующий период t – 1, то рассматривают авторегрессионную модель 1 – го порядка (марковский случайный процесс): y_t = β₀ + β₁y_{t - 1} + ε_t ( t = 1, 2, … , n). В таблице представлены данные по динамике курса акций некоторой компании

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
y	971	1166	1044	907	957	727	752	1019	972	815	823
t	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
y	1112	1386	1428	1364	1241	1145	1351	1325	1226	1189	1213

Используя авторегрессионную модель 1 – го порядка, дать точечный и интервальный прогноз среднего и индивидуального значений курса акций в момент t = 23, т. е. на глубину один интервал.
Решение. Попытка подобрать к данному временному ряду адекватную модель с линейным или полиномиальным трендом оказывается бесполезной. В соответствии с условием применим авторегрессионную модель. Получим

. Квадрат длины вектора остатков равен Q_e = 408208,8246. Определим коэффициент детерминации

Оценка значимости коэффициента корреляции r ≈ 0,75137 осуществляется по F – критерию. Определим фактическое значение F_R

где m = 2 – число параметров уравнения регрессии. При уровне значимости α = 0,05 и степеням свободы k₁ = 2 – 1 = 1 и k₂ = 21 – 2 = 19 табличное значение F_R = 4,35. Следовательно, при F_R > F_k показатель тесноты связи r = 0,75137 признаётся существенным.
Значение коэффициента детерминации свидетельствует, что 56,46 % последующей цены акций определяется предыдущей их ценой.
Среднее квадратическоеотклонение результативного признака у _i от выровненных значений у _х равно

Далее вычислим фактические значения t – критерия:

Критическое значение по таблице Стьюдента с учётом принятого уровня значимости α = 0,05 и числом степеней свободы k = 21 – 2 = 19 равно t _k = 2,093. Полученные параметры уравнения регрессии признаются значимыми, так как t фактическое больше t критического: t _a0 > t _k < t_a1 Определим значимость уравнения регрессии:

. Справедливость неравенства свидетельствует о значимости линии регрессии.
Линия регрессии позволит сделать точечный прогноз о стоимости акции в момент t = 23:ŷ_t=23 = 284 + 0,7503·1213 = 1194,1, и интервальный на уровне значимости 0,05 для среднего и индивидуального значений. Найдём оценку s² дисперсии σ²

По формуле

вычислим оценку дисперсии групповой средней

По таблице t – распределений найдём t_{0,05; 19} = 2,093. Теперь по формуле

интервальная оценка среднего курса акций в данный момент времени t = 23: 1120 ≤ y (23) ≤ 1269, интервальная оценка индивидуального значения курса акций: 878,5 ≤ y^* ≤ 1510. Использование соответствующих авторегрессионных моделей для прогнозирования экономических показателей, т. е. автопрогноз на базе рассмотренных моделей, может оказаться весьма эффективным (как правило, в краткосрочной перспективе).

Упражнения

Имеются данные об урожайности озимой пшеницы y_t (ц/га) за 10 лет:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y_t 16,3 20,2 17,1 7,7 15,3 16,3 19,9 14,4 18,7 20,7
- 1) Найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов τ = 1; 2) временного ряда.
- 2) Найти уравнение тренда временного ряда у_t полагая, что он линейный, и проверить его значимость на уровне 0,05.
- 3) Провести сглаживание временного ряда y_t методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания: а) m = 3; б) m = 5.
В таблице представлены данные, отражающие динамику роста доходов на душу населения y_t (ден. ед.) за восьмилетний период:

t 1 2 3 4 5 6 7 8

y_t 1133 1222 1354 1389 1342 1377 1491 1684

Полагая, что тренд линейный и условия классической модели выполнены:
- найти уравнение тренда и оценить его значимость на уровне 0,05;
- дать точечный и с надежностью 0,95 интервальный прогнозы среднего и индивидуального значений доходов на девятый год.
Имеются данные об урожайности овощных культур в хозяйствах региона

Год 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

Урожайность, т/га 10,2 10,7 11,7 13,1 14,9 17,2 20,0 23,2

Требуется:
- 1) обосновать тип уравнения тренда.
- 2) рассчитать параметры тренда.
- 3) дать прогноз на 1997 г.

Имеются данные за 15 дней по количеству пациентов клиники, прошедших через соответствующие отделения в течение дня

День	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
День	Терапевтическое отделение	Хирургическое отделение	Стоматологическое отделение	Глазное отделение	Отделение пластической хирургии
1	29	35	41	30	22
2	40	29	52	22	19
3	30	22	30	19	11
4	52	19	47	28	12
5	47	30	28	24	16
6	28	47	22	18	28
7	16	28	51	35	30
8	51	12	40	29	18
9	40	13	57	40	17
10	35	15	33	34	20
11	57	18	43	31	21
12	28	19	51	29	19
13	33	20	36	35	24
14	42	16	19	23	13
15	39	35	42	27	16

Требуется:

1) определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка;
2) обосновать выбор уравнения тренда и определить его параметры;
3) сделать выводы.

Имеются данные за 12 лет по странам о годовом объеме продаж автомобилей.

Год Объем продаж 100 тыс.	Задача 6	Задача 7	Задача 8	Задача 9	Задача 10
Год Объем продаж 100 тыс.	Страна А	Страна В	Страна С	Страна Д	Страна Е
1986	3,8	4,1	5,2	2,8	4,2
1987	4,7	5,2	6,3	3,6	5,4
1988	3,9	4,3	4,5	2,7	4,0
1989	2,7	3,2	3,9	2,0	3,1
1990	2,9	3,0	3,8	1,8	2,9
1991	2,3	2,8	3,0	1,4	2,4
1392	3,0	4,2	4,8	2,1	3,7
1993	3,6	4,6	5,0	2,5	4,1
1994	2,9	3,7	4,6	2,1	1,4
1995	3,7	4,8	6,1	3,0	2,2
1996	4,5	5,6	6,7	3,7	2,9
1997	4,2	5,0	6,9	3,1	2,6

1) определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка;
2) обосновать выбор уравнения тренда и определить его параметры;
3) сделать выводы.

Год	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996
Урожайность, т/га	10,2	10,7	11,7	13,1	14,9	17,2	20,0	23,2

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y_t	16,3	20,2	17,1	7,7	15,3	16,3	19,9	14,4	18,7	20,7

t	1	2	3	4	5	6	7	8
y_t	1133	1222	1354	1389	1342	1377	1491	1684