К разделу

Лекция 4

К содержанию
  1. Пара сил и алгебраический момент пары сил.
  2. Теорема об эквивалентности пар сил, расположенных в одной плоскости.
  3. Теорема о переносе пары силы в параллельную плоскость.
  4. Векторный момент пары.
  5. Теорема о сумме моментов сил пары.
  6. Сложение пар сил, расположенных в одной плоскости.
  7. Сложение пар сил, расположенных в пересекающихся плоскостях.
  8. Условия равновесия пар сил.

Пара сил и алгебраический момент пары сил

 Парой сил называют систему равных по величине параллельных сил, направленных в противоположные стороны:
M = ( F1, F2 ), если F1 = − F2.
 Пару сил можно рассматривать как предельный случай двух неравных параллельных сил, направленных в противоположные стороны, когда сила F1 по величине стремится к силе F2. В этом случае по формуле (1) АС и ВС стремятся к бесконечности, т.е. точка С находится в бесконечности. Таким образом, в этом предельном случае равнодействующая сила равна нулю, а ее точка приложения находится в бесконечности. Но пара сил не составляет системы сил, эквивалентной нулю.
 Известно, что под действием пары сил свободное твердое тело выходит из равновесия. Обычно пару сил ( F1, F2 ) прилагают к телу, которое должно вращаться, как, например, к маховику вентиля при его закрывании и открывании (смотри рисунок). Поэтому пару сил нельзя заменить одной силой и, следовательно, она не имеет равнодействующей, а является такой системой сил, упростить которую нельзя. Каждая из сил, входящих в состав пары сил, имеет все свойства обычных сил.
 Пара сил, действующая на твердое тело, характеризуется прежде всего плоскостью действия, аналогично тому, как сила характеризуется линией действия .
 Плоскостью действия пары сил называют плоскость, в которой расположены силы пары.
 Для количественной характеристики действия пары сил на твердое и указания направления, в котором пара сил стремится вращать тело в плоскости действия, введем понятие алгебраического момента пары сил.
  Алгебраическим моментом пары сил называют взятое со знаком плюс или минус произведение величины одной из сил пары на плечо пары сил.
 Плечом пары сил d называют кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.
 Алгебраический момент пары численно равен площади параллелограмма, для которого противоположные стороны равны силам пары
M = М( F1, F2 ) = ± F·AB = SADBC.

 Алгебраический момент пары обозначим М, или М ( F1, F2 ). Согласно определению
M = М ( F1, F2 ) = ± F· d.
 Размерность алгебраического момента пары сил такая же, как и у алгебраического момента силы относительно точки.
 Алгебраический момент пары сил имеет знак плюс, если пара сил стремится вращать тело против движения часовой стрелки, и знак минус, если пара сил стремится вращать тело по движению часовой стрелки.
 Алгебраический момент пары сил не зависит от переноса сил пары вдоль своих линий действия и может равняться нулю, если линии действия сил пары совпадают, т. е. в случае двух равных по величине, но противоположных по направлению сил, действующих вдоль одной прямой. Такая система двух сил, как известно, эквивалентна нулю.

Теорема об эквивалентности пар сил, расположенных в одной плоскости

 Две пары сил называются эквивалентными, если их действие на твёрдое тело одинаково при прочих равных условиях.
 Теорема. Пару сил, действующую на твёрдое тело, можно заменить другой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющей одинаковый с первой парой алгебраический момент (смотри рисунок).
 Д о к а з а т е л ь с т в о.
{ F1, F2 } ~ { F1, F2, F3, F4, F5, F6 } ~ { { F1, F4 }, { F2, F5 }, F3, F6 } ~{ R1, R2, F3, F6 } ~ { F3, F6 }
так как {R1, R2 } ~ 0.
Момент пары сил – свободный вектор.

Теорема о переносе пары силы в параллельную плоскость

  Действие пары сил на твёрдое тело не изменится от переноса этой пары сил в параллельную плоскость.
Доказательство. (смотри рисунок)

{ F1, F2 } ~ { F1, F2 , F1', F1 '', F2', F2''} ~ { R1, R2 , F1', F2''} ~ { F1', F2''} так как | F1 | = | F2 | = | F1' | = | F1'' | = | F2' | = | F2'' | и R1 ~ { F2, F1'' }, R2 ~ { F1, F2' }, { R1, R2 }.

Векторный момент пар

   Векторным моментом пары сил назовём вектор, величина которого равна произведению силы пары на её плечо. Векторный момент пары сил направлен перпендикулярно к плоскости действия пары сил так, чтобы с направления этого вектора видеть стремление пары сил вращать плечо пары против движения часовой стрелки. (смотри рисунок)
   Векторный момент пары сил, действующий на твёрдое тело есть свободный вектор.
   Две пары сил, действующих на одно и то же твёрдое тело, эквивалентны, если они имеют одинаковые по величине и направлению векторные моменты,
| M | = h·F1 = h·F2 = SACBD; M = АВ × F2 = ВА × F1, так как | M | = | АВ × F2 | = F2·AB·sin (АВ, F2 ) = F2·h.

Теорема о сумме моментов сил пары

   Сумма векторных моментов сил, входящих в состав пары, относительно любой точки не зависит от выбора точки и равна векторному моменту этой пары сил. (смотри рисунок)
M0 (F1) + M0 (F2) = M (F1, F2), так как M0 (F1) + M0 (F2) = r1×F1 + r2×F2 = (r1 − r2)×F1 = BA × r1 = М (F1, F2).
Сумма алгебраических моментов сил, входящих в состав пары, равна алгебраическому моменту пары, если точка лежит в плоскости действия пары и не зависит от выбора моментной точки.
M0 (F1) + M0 (F2) = M ( F1, F2 )
В частности
MА (F2) = MB (F2) = M (F1, F2).
Векторный момент пары равен векторному моменту одной из сил пары относительно точки, лежащей на линии действия другой силы пары.

Сложение пар сил, расположенных в одной плоскости

   Всякую систему пар, расположенных в одной плоскости, можно заменить одной равнодействующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов всех пар этой системы.
,
.

Пусть заданы пары сил с разными характеристиками.
Зададим плечо d и определим силы для каждой пары по условию эквивалентности.
Так как составляющие пар направлены по одной прямой, то они будут эквивалентны одной силе R ' и R, которые равны по величине, лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны, то есть образуют пару.
   Для равновесия системы пар, расположенных в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов всех данных пар равнялась нулю.
.

Сложение пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях

   Две пары сил, действующие на одно и то же тело, и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, векторный момент которой равен сумме векторных моментов заданных пар сил. (смотри рисунок)
RА = F1 + F2, RB = F*1 + F*2, RА = − RB,
M = BA × RA = BA × ( F1 + F2 ) = BA × F1 + BA × F2 = M1 + M2
 Векторный момент эквивалентной пары сил равен сумме векторных моментов заданных пар
m = m1 + m2.
 Чтобы сложить две пары сил, лежащие в пересекающихся плоскостях, надо сложить их векторные моменты по правилу параллелограмма в какой-либо точке тела, например в точке В. Сложение пар сил, лежащих в одной плоскости и параллельных плоскостях, есть частный случай сложения пар сил в пересекающихся плоскостях, так как в этом случае их векторные моменты параллельны и, следовательно, векторное сложение перейдет алгебраическое.
 Последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум векторным моментам пар сил, можно любое количество пар сил в общем случае заменить одной парой сил, векторный момент которой M равен сумме векторных моментов заданных пар сил:
m = Σ mk.
 Если это сложение выполнять графически, особенно когда векторные моменты пар сил находятся в одной плоскости, то получается, что векторный момент эквивалентной пары сил изображается замыкающей векторного многоугольника, построенного из векторных моментов заданных пар сил.
 Для пар сил, расположенных в одной плоскости, теорема о их сложении формулируется так: пары сил, действующие на твердое тело и расположенные в одной плоскости, можно привести к одной паре сил, алгебраический момент которой равен сумме алгебраических моментов составляющих пар сил, т. е.
M = Σ Mk.
 Так же складываются пары сил, расположенные в параллельных плоскостях, так как их предварительно можно перенести в одну плоскость.

Условия равновесия пар сил

 Если на тело действует n пар с моментами m1, m2, …, mn, то применяя последовательно теорему сложения пар, получим, что данная система пар будет эквивалента одной паре с моментом
m = m1 + m2 + … + mn = Σmk
Вектор М можно найти как замыкающую сторону многоугольника, построенного из слагаемых векторов.
 Если слагаемые векторы не лежат в одной плоскости, подсчёт удобно вести аналитически. На основании теоремы о проекциях суммы векторов найдём
Mx = Σ mkx, My = Σ mky, Mz = Σ mkz.
По этим проекциям можно построить вектор M. Модуль его вычисляется по формуле
.
Из полученных результатов находятся условия равновесия системы пар, действующих на твёрдое тело. Так как любая система пар заменяется одной парой, то при равновесии должно быть M = 0 или Σ mk = 0, т.е. многоугольник, построенный из векторов моментов, действующих на тело пар, должен быть замкнутым.
 Аналитическими условиями равновесия системы пар сил будут Мx = 0, Мy = 0, Мz = 0, или
Σ mkx = 0, Σ mky = 0, Σ mkz = 0.
 Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций векторных моментов пар сил на каждую из трех координатных осей равнялась нулю.
 В общем случае пары сил можно уравновесить только парой сил и нельзя уравновесить одной силой или какой-либо другой системой сил, отличной от пары сил.
 Пример 1. Найти нсличипу векторного момента эквивалентной пары сил, которая получается при сложении двух пар сил с моментами М1 = 40 нм и М2 = 30 нм, действующих на одно и то же твердое тело. Пары сил лежат в пересекающихся плоскостях, двугранный угол между которыми равен 60°.
 Решение. Складываем по правилу параллелограмма векторные моменты заданных пар сил. Для величины векторного момента эквивалентной пары сил М имеем
,
так как величина угла между m1 и m2 равна величине двугранного угла между плоскостями действия пар сил.
 Пример 2. Пары сил М1 = 10 нм и М2 = 6 нм и противоположного направления вращения находятся в параллельных плоскостях. Пара, имеющая М3 = 3 нм, лежит в перпендикулярной плоскости. Найти момент эквивалентной пары сил.
 Решение. Сложим сначала алгебраически пары сил, лежащие в параллельных плоскостях. Получим пару сил с моментом М12 = М1 - М2 = 10 - 6 = 4 нм, так как пары сил имеют противоположные знаки. Пару сил с моментом M12 сложим векторно с парой сил, имеющей момент М3. Так как угол между М12 и М3 прямой, то момент эквивалентной пары
.