СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА

  1. Коэффициент корреляции.
  2. Корреляционный момент.
  3. Модификация формы записи коэффициента корреляции.
  4. Дисперсия суммы произвольных случайных величин.
  5. Основные свойства коэффициента корреляции.
  6. Вопросы для самопроверки.

Коэффициент корреляции

   Коэффициентом корреляции называется величина
.
Коэффициент корреляции является числовой характеристикой, показывающей, насколько рассматриваемые случайные величины являются независимыми.

Корреляционный момент

   Корреляционным моментом случайных величин называется величина
K (X, Y) = M(X·Y) - M (X)·M(Y).
Учитывая определение корреляционного момента, коэффициент корреляции можно представить в виде:
.
Если случайные величины независимы, то с учётом свойства математического ожидания произведения независимых величин, получим нулевой корреляционный момент. Поэтому для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю. Обратно утверждение неверно. Поэтому, при K (X, Y) = 0 случайные величины называются некоррелированными.

Модификация формы записи коэффициента корреляции

   Используя свойство математического ожидания, получим для корреляционного момента
Поэтому коэффициент корреляции может быть представлен в виде
.

Дисперсия суммы произвольных случайных величин

   Для произвольных случайных величин дисперсия суммы их, как следует из доказательства (см. лекцию № 9), примет вид
D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2·K (X, Y).
Для попарно некоррелированных случайных величин это свойство имеет вид
D (X + Y) = D (X) + D (Y).

Основные свойства коэффициента корреляции

  1. При любых X и Y имеет место неравенство
    | r (X, Y) | ≤ 1.
       Доказательство. По свойству математического ожидания имеем
    M [( X - M( X )) + λ·M ( Y - M( Y ))]2 ≥ 0,
    что тождественно для любых значений параметра λ. Раскрывая это выражение, и пользуясь свойствами математического ожидания, получим
    M ( X - M( X ))2+2·λ·K( X, Y )+λ2·M ( Y - M( Y ))2 ≥ 0,
    что тождественно для любых значений параметра λ. Следовательно, дискриминант квадратичного трёхчлена правой части – неположительный:
    K2 ( X, Y ) - D ( X )·D ( Y ) ≤ 0.
    Откуда следует
    ,
    и, наконец,
    .
  2. Если случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью X = a·Y + b , то | r (X, Y) | = 1. При этом r ( X, Y ) = 1 при а > 0 и r ( X, Y ) = - 1 при а < 0. И обратно, если | r ( X, Y ) | = 1 , то X = a·Y + b.
       Доказательство. Пусть X = a·Y + b, тогда D (X) = a² ·D (Y) и
    K (X,Y ) = M [ ( X - M ( X ))·( Y - M ( Y )) ] = M [ ( a Y + b - M ( a Y + b ))·( Y - M ( Y )) ] = M [ ( a Y + b - a M ( Y ) - b)·( Y - M ( Y )) ] = a M [ ( Y -M ( Y ))·( Y - M ( Y )) ] = a M [ Y -M ( Y )]2 = a D (Y)
    Следовательно,
      Пусть теперь r (X, Y) = 1. Тогда K2( X, Y ) - D ( X )·D ( Y ) = 0  и квадратный трёхчлен, рассматриваемый в пункте 1, имеет один корень. Обозначим этот корень λ = - a. Тогда соотношение
M [( X - M ( X )) - a·M ( Y - M ( Y ))]2 ≥ 0,
откуда следует
( X - M ( X )) - a·M ( Y - M ( Y )) = 0,
и окончательно X = a·Y + b, где b = M( X ) + a·M( Y ) .Здесь воспользовались очевидным свойством математического ожидания: если математическое ожидание квадрата случайной величины тождественно равно нулю, то эта случайная величина тождественно равна нулю.
Если случайные величины связаны зависимостью X = a·Y + b , то говорят, что эти величины линейно зависимы. Таким образом, для линейной зависимости случайных величин необходимо и достаточно, чтобы их коэффициент корреляции был равен единице.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется коэффициентом корреляции случайных величин?
  2. Что называется корреляционным моментом?
  3. Какие случайные величины называются некоррелированными?
  4. Какую модификацию имеет коэффициент корреляции?
  5. Какой вид примет дисперсия суммы произвольных случайных величин?
  6. Перечислите основные свойства коэффициента корреляции.
  7. Какие случайные величины называются линейно зависимыми?
  8. Чему равен коэффициент корреляции для линейно зависимых случайных величин?
  9. Найти коэффициент корреляции для случайных величин:
    ИсходыА1А2А3А4А5А6А7А8А9А10
    Х– 6– 2535– 20510
    ИсходыА1А2А3А4А5А6А7А8А9А10
    Y– 7460– 54– 70– 34