ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши.
П р и м е р 1. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения x2 y' − y2 = x2.
Р е ш е н и е.
Ответ:
.
П р и м е р 2. Найти частное решение дифференциального уравнения y'' − 4 y' + 3 y = e5x, удовлетворяющего начальным условиям y(0) = 3, y'(0) = 9.
Р е ш е н и е. Найдём общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному уравнению y'' - 4 y' + 3 y = 0. Характеристическое уравнение k2 − 4 k + 3 = 0 имеет два действительных различных корня k1 = 1, k2 = 3. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид y0 = C1 ex + C2 e3x.
Так как корни характеристического уравнения не совпадают с числом α =5, то по правой части неоднородного уравнения найдём его частное решение в виде y* = A e5x. Подставляя это y*
в неоднородное дифференциальное уравнение, получим 25Ае5х − 20Ае5х + 3Ае5х= е5х.
Сокращая левую и правую часть последнего уравнения на е5х, получим
уравнение 25А − 20А + 3А = 1, решая которое относительно А, получим
.
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид
.
Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному, и его частного решения
Найдём значения произвольных постоянных С1 и С2 с учётом начальных условий:
С учётом этих значений частное решение будет иметь вид
О т в е т.
П р и м е р 3. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
.
Р е ш е н и е. Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Поэтому сделаем замену у = u(x)·v(x). Подставим эту замену переменной в дифференциальное уравнение
.
Сгруппируем второе и третье слагаемое последнего соотногения и вынесем за скобки общий множитель
.
Предположим, что функция v такова, что скобка в последнем уравнении обращается в нуль. Тогда при этих условиях из последнего уравнения следует система
Первое уравнение системы представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решением этого уравнения будет
.
Следует заметить, что при нахождении функции v не следует привлекать произвольную постоянную при интегрировании. Будем считать, что функция v удовлетворяет и этому условию.
Подставиви найденное v во второе уравнение системы, будем иметь u' e- sin x = sin x·cos x → u' = sin x·cos x·esin x → u = ∫sin x·cos x·esin x d x →
u = ∫sin x·esin x d sin x → u = esin x ( sin x − 1 ) + C.
При этом пришлось применить метод введения промежуточного аргумента (t = sin x) и метод интегрирования по частям ( смотри здесь).
Учитывая замену переменной, теперь можно найти
y = sin x − 1 + C e- sin x.
Ответ. y = sin x − 1 + C e- sin x.
П р и м е р 4. Найти решение дифференциального уравнения
y'' ·y3 + 9 = 0,
удовлетворяющее начальным условиям y(1) = 1, y'(1) = 3.
Р е ш е н и е. Это уравнение второго порядка не содержит аргумент х. Поэтому рекомендуется замена
.
С учётом этого уравнение примет вид уравнения с разделяющимися переменными
Решением этого уравнения является
.
Учитывая начальные условия примера, из последнего соотношения найдём С1 = 0, и, таким образом, уравнение должно принять вид
.
Извлекая корень квадратный из обеих частей уравнения, получим
.
Если учесть то, что такое z, получим уравнение с разделяющимися переменными, решением которого будет
.
Учитывая начальные условия, получим
,
откуда имеем два значения произвольной постоянной 
и 
. Таким образом, решением рассматриваемого уравнения будут
и 
.
П р и м е р 5. Два одинаковаых груза с массами m1 = m2 = m подвешены к концу пружины с жёсткостью с. Определить движение, которое получит один груз, если другой оборвётся.
Р е ш е н и е.
Когда грузы подвешены, то статическое удлинение пружины определяется из условия равновесия 2 m g = c δ2
и равно 
. Напомним, что статическим удлинением пружины называется её удлинение в положении равновесия грузов. Когда на пружине останется один груз, то статическое удлинение пружины равно 
.
В положении этого статического равновесия выберем начало координат системы для определения движения груза. Направление оси выберем вниз. Движение груза будет развиваться по второму закону Ньютона 
или
где 
. Когда нижний груз оборвётся, то оставшийся груз придёт в движение и начальными условиями этого движения будут 
.
Уравнение движения груза является однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами и поэтому имеет общее решение вида
x = C1 cos (ω t) + C2 sin (ω t).
Продифференцируем это общее решение
.
Удовлетворяя начальным условиям, получим
Подставив найденные значения С1 и С2 в общее решение, получим закон колебания оставшегося на пружине груза
.
П р и м е р 6. Решить систему дифференциальных уравнений вида
Р е ш е н и е. Запишем систему в матричном виде. Для этоговведём вектор-столбец 
неизвестных функций х, у и матрицу А:
 | , |  |
Составим уравнение для нахождения собственных значений матрицы А:
Решив это квадратное уравнение, получим λ1 = 5, λ2 = 1.
Найдём собственный вектор S(1)
, соответствующий собственному значению λ1 = 5. Система (6.9) для нахождения координат собственного вектора S(1)
имеет вид
Первое и второе уравнения этой системы с точностью до знака совпадают, поэтому одно из этих двух уравнений отбросим как лишнее. Подставив в оставшееся уравнение S2 = 3·S1 значение S1 = 1, получим S2 = 3. Таким образом, собственным вектором S(1) , соответствующим собственному значению λ1 = 5, будет
Найдём собственный вектор S(2)
, соответствующий собственному значению λ2 = 1. Система для нахождения координат собственного вектора S(2)
имеет вид
Первое и второе уравнения этой системы до множителя совпадают, поэтому одно из этих двух уравнений отбросим как лишнее. Подставив в оставшееся уравнение S2 = − S1 значение S1 = 1, получим S2 = − 1. Таким образом, собственным вектором S(2)
, соответствующим собственному значению λ2 = 1, будет
Матрица А системы дифференциальных уравнений второго порядка имеет два собственных вектора S(1)
и S(2)
, поэтому решение системы представляется в виде x = S(1)·e5t + S(2)·et.
Если учесть координатную запись векторов S(1) и S(2), получим решение системы в координатном виде
О т в е т:
x = C1 e5t + C2 et, y = 3 C1 e5t - C2 et
З а м е ч а н и е. Более подробно смотрите материал первой части в разделе дифференциальные уравнения лекция 6.
П р и м е р 8. Найти решение системы дифференциальных уравнений
удовлетворяющее начальным условиям х (0) = 1, y (0) = − 1.
Р е ш е н и е. Операционный метод интегрирования системы дифференциальных уравнений состоит из трёх этапов:
- 1) переход от системы дифференциальных уравнений к конечному "операторному" заменой левой и правой частей исходного уравнения их изображениями;
- 2) решением операторного уравнения;
- 3) обращения полученных уравнений.
,
.
Заменяя в исходной системе уравнений все слагаемые их изображениями, получим операторную систему:
Эту линейную систему уравнений решаем по формулам Крамера:
, 
,
,
.
Неопределённые коэффициенты найдены из тождеств
,
.
Согласно формуле обращения изображений Х(р) и Y(р) являются функции
.
