Рациональные числа
Расширение и сокращение дроби
Сложение и умножение дробей
Вычитание и деление дробей
Десятичная дробь
Понятие о других системах счисления
Возведение в степень и извлечения корня
Оглавление
Предметный указатель
Литература

Рациональные числа

   Определение. Рациональным числом называется выражение вида
,                     (7)
где а и b - целые, причем b ≠ 0.
   В частном случае, когда b = 1, полагают
.
Таким образом, множество всех рациональных чисел содержит в себе как часть множество всех целых чисел.
   Два рациональных числа (или дроби) и считаются равными,
=
a·d = b·c.
   По определению > , если (a·d - b·c)·b·d > 0 и < , если (a·d - b·c)·b·d < 0. Из определения равенства двух дробей вытекает основное свойство дроби: величина дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, т. е,
.
На этом свойстве основано сокращение дробей, т. е. деление числителя и знаменателя на их общий делитель, и приведение дробей к общему знаменателю.
   Сложение и умножение дробей определяются по правилам:
.
   В связи с тем, что целое число есть частный вид рационального числа, возникает вопрос: не противоречат ли введенные действия сложения и умножения по этим формулам ранее известным операциям сложения и умножения целых чисел?
   Если а и b - целые, то
т.е. противоречия нет.
   Вычитание и деление дробей определяются как действия, обратные сложению и умножению. Из этого определения выводятся правила этих действий:
.
Для рациональных чисел сохраняются основные свойства арифметических действий над натуральными числами (см. § 1).
   В частности, если а и b целые, то , т.е. всякое рациональное число есть результат деления целых чисел.
   В множестве рациональных чисел деление всегда возможно, кроме деления на нуль.
    Дробь вида
,                     (8)
где N – целое, n – натуральное число, называется десятичной дробью. Её числитель – степени числа 10.
   В отличие от дроби десятичной дробь (7) с каким угодно знаменателем называется обыкновенной или простой.
   Всякая положительная десятичная дробь (при N > 0) представима в виде суммы
,                     (9)
где а0, а1, … аm, b1, b2, …, bn - цифры.
   Если bl = b2 = … = bn = 0, то (9) есть целое число. При аm = аm-1 = … = a0 = 0 дробь (9) называется правильной десятичной дробью. В общем случае, когда не все аm, аm-1, …а0 и не все bn, bn-1, …b1 равны нулю, дробь (9) называется смешанной.
   Условились десятичную дробь (9) записывать также в виде
аmаm-1 …а0 , b1…bn-1bn или А , b1…bn-1bn                      (10)
где А = аmаm-1 …а0 – целое число, а b1…bn-1bn – десятичные знаки.
   Так как (10) – иная запись суммы (9), то после bn можно приписать любое число нулей, и величина дроби от этого не изменится.
   Изображение десятичных дробей в виде (10) удобно для сравнения таких дробей и для выполнения действий над ними.
   Наряду с десятичными дробями, которые в дальнейшем будем называть также конечными десятичными дробями, рассматриваются и так называемые бесконечные десятичные дроби.
   Определение. Бесконечной десятичной дробью
А , b1…bn-1bn …
называется символ
составленный из целого числа А и бесконечной последовательности цифр b1, b2, …, bn, … (понятие последовательности см. в гл. V, § 1)
   Частным случаем бесконечных десятичных дробей являются периодические дроби.
   Определение. Бесконечные десятичные дроби вида
                     (11′)
или вида
                     (11″)
где одна или несколько цифр повторяются в неизменном порядке, называются периодическими. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом такой дроби. При этом вместо записей (11′) и (11″) употребляют сокращенные записи
A, (b1b2…bn)
и
A, b1b2…bk(bk+1bk+2…bk+n)
Например,
0,131313… = 0,(13), 2,1444… = 2,1(4).
Дробь вида (11′) называется чистой периодической, дробь вида (11″) – смешанной периодической.
   Для простоты изложения будем рассматривать обыкновенные дроби с положительным числителем и знаменателем и положительные десятичные дроби, конечные и бесконечные.
   Обрывая дробь (11) на каком-нибудь n - м десятичном знаке, получим тогда конечную десятичную дробь А, b1b2…bn. С возрастанием n такая дробь не уменьшается, т. е. либо не изменяется, либо увеличивается.
   Например, для дроби 0,15004… соответственно получаем
0,1 < 0,15 = 0,150 = 0,1500 < 0,15004 < … .
   Определение. Бесконечная десятичная дробь (11) считается равной обыкновенной дроби:
                     (12)
если при всех n выполняется неравенство
Нетрудно понять, что это определение справедливо и в случае равенства для конечной десятичной дроби. Таким образом, равенство (12) означает, что любая конечная десятичная дробь А, b1b2…bn дает приближение (с недостатком) к дроби с точностью до 10-n.
   В частности, отсюда следует, что все периодические дроби с периодом 9 равны соответствующим конечным десятичным дробям. Например,
0,(9) = 1; 4,12(9) = 4,13.
Обратить обыкновенную дробь в десятичную – значит найти такую десятичную дробь, конечную или бесконечную, которая равна данной обыкновенной дроби.
   Покажем, что несократимую дробь можно обратить в конечную десятичную дробь в том и только в том случае, если знаменатель b не содержит других простых множителей, кроме 2 и 5.
   В самом деле, равенство
где N - целое, (a, b) = l, возможно тогда и только тогда, когда 10n делится на b (см. § 1), и значит b = 2k·5l.
   Если b ≠ 2k·5l, то дробь – можно приближенно обратить в конечную десятичную дробь с точностью до 10-n с недостатком или избытком. Для этого надо найти две конечные десятичные дроби, удовлетворяющие условию
Из последнего следует, что
т.е. m - это целая часть дроби или иначе, неполное частное от деления a·10n на b, а оно существует и единственно (см. § 1).
   Практически для обращения дроби делят числитель на знаменатель {по правилу деления конечной десятичной дроби на целое число). Например, обратим дробь в конечную десятичную с точностью до 0,001: ≈ 1,833 (с недостатком), ≈ 1,834 (с избытком).
   Если у несократимой дроби знаменатель b = 2k·5l, то процесс деления после конечного числа его повторения закончится и в результате будет получена конечная десятичная дробь. Если b ≠ 2k·5l, то процесс деления можно продолжать неограниченно и в результате будет получена бесконечная десятичная дробь.
   Вывод. Всякую обыкновенную дробь можно обратить в десятичную дробь, конечную или бесконечную.
   Например,
Справедлива следующая важная теорема.
   Теорема. Всякое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной или периодической дроби и обратно - всякая конечная десятичная дробь или дробь периодическая изображает рациональное число.
   Доказательство. Достаточно рассмотреть положительные рациональные числа и положительные дроби, конечные десятичные или периодические.(Правило обращения периодических дробей см. в § 3.)
1. Как уже было доказано, дробь при b = 2k·5l обращается в конечную десятичную дробь.
   Пусть b ≠ 2k·5l. Обращая данную дробь в десятичную путем деления а па b, будем получать остатки вида 1, 2, …, b - 1. Так как процесс деления не может окончиться, то на некотором шаге в остатке должно вновь оказаться одно из этих чисел. Но если повторится какой-нибудь остаток, то должна повториться и соответствующая цифра частного, т. е. после этого остатка цифры частного будут повторяться в прежнем порядке. Полученная при обращении бесконечная десятичная дробь является периодической дробью.
   Первое утверждение теоремы доказано.
2. Докажем справедливость обратного утверждения. Случай конечной десятичной дроби очевиден. Рассмотрим для определенности (без ограничения общности доказательства) смешанную периодическую дробь вида
                     (12′)
В соотношении (12′) слагаемые, начиная со второго, представляют сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поэтому, воспользовавшись известным соотношением для суммы бесконечной убывающей прогрессии, получим
   Правило обращения периодических дробей. Справедлива следующая важная теорема.
Теорема. Всякое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной или периодической дроби и обратно - всякая конечная десятичная дробь или дробь периодическая изображает рациональное число.
   Любая периодическая дробь вида 0, b1b2…bn равна обыкновенной дроби, составленной по следующему правилу:
  1. ее числитель есть разность между числом, стоящим до второго периода, и числом, стоящим до первого периода;
  2. ее знаменатель есть число, изображаемое цифрами 9 и нулями на конце. Цифра 9 повторяется столько раз, сколько цифр в периоде а нуль - столько раз, сколько цифр содержится между запятой и периодом.
   Например
   Понятие о других системах счисления. В десятичной системе счисления любое положительное число представите в виде
,                     (*)
Равенство (*) сокращенно записывают в виде
N = amam-1…a0, b1b2…bn…,                     (**)
где a0, a1, … , am, b1, b2, …, bn, … – цифры 0, 1, 2, … 9.
   Вместо 10 (основания системы) можно взять любое натуральное число р > 1. Например, если р = 3 и N = 25, то, очевидно, что
25 = 2·3² + 2·3 + 1.
Это представление аналогично представлению (*). Естественно его записать аналогично соотношению (**) в виде
25(10) = 221(3),
где 221 - запись числа 25 в системе счисления с основанием 3.
   Число 25 можно записать и в другой, например двоичной, системе:
25= 1·24+1·2³ + 0·2² + 0·2 + 1,
т.е.
25(10) = 11001(2).
Вместо десятичных составляются р - ичные дроби. Например, двоичное число 11,1101 означает
в десятичной системе счисления.
   В работе электронных цифровых машин применяется двоичная система счисления, в которой для изображения любого числа достаточно двух цифр: 0 и 1.
   Для рациональных чисел вводятся действия возведения в степень и извлечения корня.
   Пусть а - рациональное число, n - натуральное.
   Определение. Степень числа а с натуральным показателем n(n ≥ 2) есть произведение n сомножителей, каждый из которых равен а:
   При n = 1 полагают а1 = а.
   Извлечение корня определяется как действие, обратное возведению в степень.
   Определение. Корнем, или радикалом n - й степени (n ≥ 2) из числа а называется такое число, n - я степень которого равна а.
   Корень n-й степени из числа а обозначается через . Запись = b означает, что bn = а.
   В множестве рациональных чисел действие извлечение корня не всегда выполнимо. Например, не существует рационального числа, равного квадратному корню из двух. Докажем это.
   Предположим противное, что
где дробь будем считать несократимой. Согласно определению корня
т, е. р - четное число:
p = 2·p1,
где p1 - целое. Тогда (2·p1)² = 2·q² или q² = 2·p1², т. е. q - четное число. Значит, q = 2·q1, где q1 – целое. Следовательно, дробь сократима, что противоречит условию.
   Из полученного противоречия вытекает, что не является рациональным числом.
   Определение. Рациональное число b > 0 называется приближенным значением корня (а > 0) с недостатком с точностью до α (α - положительное рациональное число), если bn < а < (b + α)n.
   При этом число b + α называется приближенным значением корня с избытком с точностью до α.
   Доказано, что приближенные значения корней из положительных чисел всегда существуют для любого рационального числа а > 0.
   Пример. Извлечь с точностью до .
   Решение. Замечаем, что . Поэтому достаточно извлечь корень с точностью до 1 и разделить полученное число на 7.
   Так как ≈ 9 (c точностью до 1), то (с точностью до . В самом деле,
За меру точности α чаще всего принимают 10-m (m - некоторое натуральное число), а за приближенное значение корня принимают десятичную дробь с m знаками после запятой.
   Советуем читателю применить известное правило извлечения квадратного корня и показать, что (с недостатком, с точностью до 0,01), (с избытком, с точностью до 0,001).