1_3

ВВЕРХ

Определение

Сравнение иррациональных чисел

Алгебраические и трансцендентные

Арифметические действия

Правило обращения периодических дробей

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

Иррациональные числа

Будем извлекать корень квадратный из двух с точностью до 1/10, 1/10², …, 1/10ⁿ и т.д. Продолжая этот процесс неограниченно, получим в результате бесконечную десятичную дробь, которая не может быть периодической, так как

не является рациональным числом. Таким образом, при извлечении корней появляются бесконечные непериодические десятичные дроби, Дроби такого типа определяют новые, нерациональные числа.
   Определение. Всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь вида a = A, b₁b₂…b_n…                     (13) (A ≥ 0, b₁, b₂ ... - цифры) называется положительным иррационалъным числом.
   Каждому положительному иррациональному числу (13) сопоставляется противоположное ему отрицательное число - a = - A, b₁b₂…b_n…    Определения. 1. Два иррациональных числа a = A, b₁b₂…b_n… и a′ = A′, b′₁b′₂…b′_n… считаются равными в том и только в том случае, если A = A′, b₁ = b₁′, b₂ = b₂′, …, b_n = b_n′… и т.д.
   Число а больше числа а': а > а', если A > A, или если А = A' но b₁ > b₁' или если A = A' и b₁ = b₁', но b₂ > b'₂ и т. д.
   3. Если a > а' > 0, то считают - а < - а' и обратно.
   Пусть a = A, b₁b₂ ... .
Дроби A, b₁; A, b₁b₂; … A, b₁b₂…b_n и т. д. называются десятичными приближениями для иррационального числа а по недостатку. Дроби A, (b₁ +1); A, b₁(b₂ +1); … A, b₁b₂…(b_n +1) и т. д. называются десятичными приближениями для иррационального числа а по избытку.
   Для сравнения иррационального числа с числом рациональным последнее можно представить в виде периодической дроби и затем можно сравнить десятичные приближения для этих чисел по тому же правилу, как и при сравнении двух иррациональных чисел. При этом конечная десятичная дробь рассматривается как периодическая с периодом нуль. Например,

> 1,41, так как

= 1,414..., а 1,41 = 1,4100 ... .
Иррациональные числа разделяются на алгебраические, и трансцендентные (неалгебраические). Алгебраическим иррациональным числом называется всякое иррациональное число, которое является корнем многочлена (см. гл. II, § 3) с рациональными коэффициентами вида c₀·xⁿ + c₁·x^n-1 + … + c_n где c₀ ≠ 0, n - натуральное число.
Например,

- алгебраическое иррациональное число, так как является корнем многочлена х ² - 2.
   Доказано, что число π = 3,14... - трансцендентное иррациональное число.
   Извлечение корня приводит к алгебраическим иррациональным числам. Значения логарифмов положительных чисел и тригонометрических функций, как правило, - трансцендентные иррациональные числа.
   Замечание. Конкретные иррациональные числа обычно обозначают символом той операции, в результате которой они возникают:

Над иррациональными числами устанавливаются арифметические действия, причем вычитание и деление определяются как действия, обратные сложению и умножению. Строгое обоснование этих действий и их свойств приводится в курсе высшей математики.
Поясним не примере понятие суммы. Рассмотрим числа а =

= 1,414... и b =

= 1,732… Возьмём последовательности десятичных приближений для а и b по недостатку

a	1,4	1,41	1,414	…
b	1,7	1,73	1,732	…

и по избытку

a	1,5	1,42	1,415	…
b	1,8	1,74	1,733	…

Образуем две новые последовательности

1,4 + 1,7	1,41 + 1,73	1,414 + 1,732	…
1,5 + 1,8	1,42 + 1,74	1,415 + 1,733	…

Оказывается, существует и притом единственное число, для которого эти последовательности являются последовательностями десятичных приближений соответственно по недостатку и по избытку. Это число и называется суммой чисел а и b.
После установления арифметических действий вводится важное понятие предела числовой последовательности (см. гл. V, § 4). Эта формула позволяет получить правило для обращения периодических дробей.

Правило обращения периодических дробей

Любая периодическая дробь вида 0,b₁b₂…b_n… равна обыкновенной дроби, составленной по следующему правилу:

1) её числитель есть разность между числом, стоящим до второго периода, и числом, стоящим до первого периода;
2) её знаменатель есть число, изображаемое цифрами 9 и нулями на конце. Цифра 9 повторяется столько раз, сколько цифр в периоде, а нуль –столько раз, сколько цифр содержится между запятой и периодом.

Доказательство. Рассмотрим для определённости (без ограничения общности доказательства) смешанную периодическую дробь вида