Косинус разности углов
Косинус суммы углов
Синус суммы углов
Синус разности углов
Тангенс суммы углов
Тангенс разности углов
Котангенс суммы (разности) углов
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ГЛАВА X
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
§ 1. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОТ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЫ АРГУМЕНТОВ (ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ)

(Синус и косинус суммы углов. Геометрия в формулах)
(Тригонометрические функции суммы и разности углов)
   Будем рассматривать α и β как углы в тригонометрическом круге радиуса R. Отложим их от общего начала - радиуса ОА. Пусть углу α соответствует радиус ОВ1 и х1, у1 - координаты точки Bl, а углу β - радиус ОВ2 и х2, у2 - координаты точки В2 (смотри рисунок.).
   Согласно формуле расстояния между двумя точками (см. гл. I, п. 4)
(B1B2)² = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²
Разделив все члены этого равенства на R2 и учитывая, что
получаем
или
.                        (1)
Мы видим, что расстояние В1В2 зависит только от величин α и β и не зависит от выбора их общей начальной стороны.
   Пусть γ = α - β. Согласно определению вычитания углов (см. гл. IX, § 1), если принять радиус ОВ2 за начальную сторону угла γ, то ОВ1 совпадает с его конечной стороной (смотри рисунок.).
   Примем ОВ2 за начальную сторону двух углов: нулевого (ему соответствует сам радиус В2) и угла, равного γ (ему соответствует радиус ОВ1). Тогда по формуле (1), заменяя в ней α на γ, а β на 0, находим
.                        (2)
Сравнивая соотношения (1) и (2) и учитывая, что cos 0 = 1, а sin 0 = 0, имеем 2 - 2 (cos α·cos β + sin α·sin β) = 2 - 2 cos γ. Учитывая, что γ = α - β, окончательно получаем тождество
cos ( α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β,                        (3)
справедливое для любых α и β.
   Так как α + β = α - (- β), то из формулы (3) вытекает, что
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = cos α·cos(- β) + sinα·sin(- β),
откуда в силу четности косинуса и нечетности синуса вытекает тождество
cos (α + β) = cos α·cos β - sinα·sin β,                        (4)
также справедливое для любых α и β.
   Полагая в формуле (3) α = и учитывая, что cos = 0, а sin = 1, получаем равенство
,                        (5)
справедливое для любого β. Отсюда, в свою очередь, следует справедливость для любого β равенства
.                        (6)
Используя равенства (5), (3) и (6), имеем
т. e.
sin (α + β) = sinα·cos β + cos α·sinβ.                        (7)
Так как α - β = α + (- β), то из формулы (7) получаем
sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β.                         (8)
Формулы (7) и (8) справедливы для любых α и β.
   Пусть α + β ≠ + π k. Согласно формуле (2) гл. IX и формулам (7) и (4) этого параграфа
при условии, что cos α·cos β ≠ 0, т.е. α ≠ + π n и β ≠ + π m.
   Производя сокращение и снова используя формулу (2) гл. IX, получаем
                        (9)
для любых α и β, удовлетворяющих условию α + β ≠ + π k, α ≠ + π n, β ≠ + π m, где k, n и m - целые числа и нуль. Замечая, что α - β = α + (- β) и tg (- β) = - tg β, из формулы (9) получаем, что
                        (10)
для любых α и β, удовлетворяющих условию α - β ≠ + π k, α ≠ + π n, β ≠ + π m.
   В качестве упражнения предлагаем читателю получить формулы
,                        (11)
α ± β ≠ k π, α ≠ n π, β ≠ m π.