ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
ГЛАВА XII
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Все тригонометрические функции, будучи периодическими, не являются монотонными во всей области своего существования. Отсюда следует (см. гл. VII, § 7), что функции, обратные тригонометрическим, рассматриваемым во всей области их существования, многозначны. Чтобы получить однозначные ветви этих многозначных функций, нужно взять промежутки монотонности, на которых тригонометрическая функция либо возрастает, либо убывает, принимая при этом все возможные для нее значения.
Рассмотрим обратные функции для каждой из тригонометрических функций в отдельности.
§ 1. АРКСИНУС
Как известно, функция у = sin х монотонна на каждом из промежутков [ - 
+ π k, + π k ] , где k = 0, ± 1, ± 2, ... . Возьмем промежуток [ - , ]. На нем y = sin x возрастает, принимая все свои значения от -1 до 1. Согласно общей теории (см. гл. VII, §7) существует обратная однозначная функция, определенная на отрезке - 1 ≤ y ≤ 1 и монотонно возрастающая на нем от значения - до . Эта обратная функция обозначается символом
х = arcsin y (1)
(читается: «x равен арксинусу y».
Следуя нашей привычке обозначать аргумент через х, поменяем местами х и у в равенстве (1) и будем писать
у = arcsin х.
Таким образом, функцией y = arcsin x называется переменная величина у, лежащая на отрезке [ - , ], синус которой равен х. Это значение у может рассматриваться как радианная мера угла (дуги).
Взаимная обратность функций sin x и arcsin x хорошо видна из следующей записи:
sin (arcsin x) = x, если | х | ≤ 1, (2)
т. е. знаки операций взятия "arcsin", а затем "sin", уничтожаются, если они следуют одна за другой. Обратный порядок этих операций дает тот же результат в том случае, когда - ≤ x ≤ , т. е.
arcsin (sin x) = х, если - ≤ x ≤ .
График функции у = arcsin x можно получить из части графика y = sin x, | х | ≤ зеркальным отражением последнего относительно биссектрисы I и III координатных углов (смотри рисунок.). На этом графике наглядно отражены все свойства функции у = arcsin x. Перечислим их еще раз.
Функция у = arcsin x:
- 1) определена и однозначна на отрезке [-1, 1];
- 2) монотонно возрастает - до , принимая при этом все промежуточные значения;
- 3) является нечетной функцией, т. е. arcsin (- х) = - arcsin x.
Многозначная функция, обратная тригонометрической функции у = sin x во всей области ее существования, обозначается символом Y = Arcsin x.
Таким образом, Y = Arcsin x есть множество всех чисел, синус которых равен х.
Найти все значения Y = Arcsin x - это значит найти все числа (или углы, или дуги) Y, синус которых равен х, т. е.
sin Y = x, (3)
где х - некоторое фиксированное число, удовлетворяющее условию | x | ≤ 1.
Пусть y0 - число, взятое из промежутка [ , ], такое что y0 = arcsin x, или
sin у0 = х. (4)
Сравнивая равенства (3) и (4), имеем
sin Y = sin y0, (5)
и наша задача свелась к отысканию всех чисел Y (или углов, или дуг), удовлетворяющих условию (5). Последнее справедливо для всех Y и у0, связанных равенствами Y - у0 = 2πn и Y + у0 = π + 2π n (см. гл. X, § 8). Отсюда следует, что Y = y0 + 2πn и Y = - y0 + π(2π + 1). Итак, все значения Y = Arcsin x, т. е. все числа, синус которых равен х, заключены в формулах
(6)
которые можно объединить в одну:
Arcsin х = (-1)n·arcsin x + πk. (7)
В самом деле, если к четно, т. е. k = 2n, то из равенства (7) следует верхняя формула (6); если k = 2n + 1, то из равенства (7) получаем нижнюю часть формулы (6).
Замечание. При х = ± 1 формула (7) упрощается:
т. е. Arcsin 1 = + 2πk при любом k;
т. е. Arcsin (-1) = - + 2π k при любом k.