Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ГРАФИК СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ФУНКЦИЙ

   Бывает, что функцию y = f (x) можно представить в виде суммы двух функций y1 = f1(x) и y2 = f2(x), графики которых легко построить. Тогда построение графика функции y = f (x) сводится к геометрическому сложению соответствующих ординат: y = y1 + y2, что разность двух функций всегда можно свести к соответствующей сумме двух функций:
y = f1 (x) - f2 (x) = f1 (x) + [ - f2 (x)].
   Пример 1. Построить график функции: .
   Очевидно, если положить ,то
то y = y1 + y2.    Теперь по правилу построения графика показательной функции строим графики функции и (пунктирные линии на рисунке) и далее путем геометрического сложения соответствующих ординат этих графиков находим ряд точек искомого графика, соединив которые плавной кривой, получим искомый график ( сплошная линия на рисунке).
   Пример 2. Построить график функции: .
   Очевидно, где у1 = х, . Строим графики функций у1 = х и и затем геометрическим сложением соответствующих ординат получаем искомый график.
   Построив ряд таких точек и соединив их плавной кривой, получим искомый график. Так как данная функция нечетная (сумма двух нечетных функций), то ее график симметричен относительно начала координат.
   Прямая у = х является асимптотой полученного графика.
   Пример 3. Построить график функции: .
   Полагая , y2 = x, имеем y = y1 + y2. Строим графики функций y1 и y2.
   Отметим те значения х, где первое слагаемое обращается в 0 и ± 1. В этих точках значения ординат у будут равны соответственно у2 и у2 ± 1.
   Построив ряд таких точек и соединив их плавной кривой, получим искомый график. Так как данная функция нечетная (сумма двух нечетных функций), то ее график симметричен относительно начала координат.
   Пример 4. Построить график функции: y = cos 2x - sin x.
   Полагая y1 = cos 2x и у2 = - sin x, имеем y = yl + y2. Так как функции y1 и у2 периодические с основными периодами T1 = π и Т2 = 2π, то и функция у - периодическая с периодом Т = 2π. Поэтому требуемый график строим на промежутке [- π, π].
   Строив на этом промежутке графики функций у1 и у2 и сложив ординаты ряда характерных точек (где одно из слагаемых равно нулю, где y1 = у2, y1 = - у2), найдем ряд точек искомого графика. Соединив эти точки плавной кривой, получим, что искомый график имеет вид кривой. Вне промежутка [- π, π] график получается по свойству периодичности функции.
   Полученная кривая является графиком сложного гармонического колебания.
   Замечание. Не всегда целесообразно график суммы двух функций строить сложением графиков слагаемых. Иногда такую сумму можно заменить одной функцией, график которой строится проще. Так, например, функция
,
которая является нечетной (сумма двух нечетных функций) и определенной всюду, кроме x = 0, при х > 0 преобразуется к виду
,
(смотри здесь).
   Следовательно, эту функцию можно представить в виде
Если сравнить с примером 1, то мы тем самым получили, что