ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
§ 4. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Если в любом иррациональном уравнении заменить знак равенства на один из знаков неравенства: >, ≥, <, ≤, то получим иррациональное неравенство. Обычно решение иррационального неравенства сводят к решению равносильной ему совокупности рациональных систем неравенств. Эти системы получаются при наложении ограничений на неизвестное и возведение неравенства в степень. При возведении в степень используют соответствующие свойства неравенств (см. гл. II, § 7).
Поясним сказанное на примерах.
Пример 1. Решить неравенство
Решение. Множество допустимых значений неравенства состоит из всех х, удовлетворяющих условию
х2 - 3 х - 10 ≥ 0. (*)
Если при этом х - 2 < 0, то данное неравенство, очевидно, будет справедливо для всех х, удовлетворяющих
неравенству (*). Если же х - 2 ≥ 0, то данное неравенство равносильно неравенству х2 - 3 х - 10 > (х - 2)2 при условии (*).
Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности двух рациональных систем неравенств
Решив эти системы (см. гл. III, § 14), найдем решения искомого неравенства х ≤ 2, х > 14.
Пример 2. Решить неравенство
Решение. Очевидно, решение неравенства должно удовлетворять условиям 2 х + 1 ≥ 0 и 
(если 
, то неравенство противоречиво). При этих условиях данное неравенство равносильно неравенству
,
которое
после упрощений приводит к неравенству х (2 х2 – 11 х - 4) < 0.
Таким образом, данное неравенство равносильно системе
При решении иррациональных неравенств, как и при решении иррациональных уравнений, иногда полезно ввести новые вспомогательные
неизвестные.
Пример 3. Решить неравенство
Решение. Положив 
и тем самым x
2 - 3 x = y2 - 5, получим неравенство y2 + y - 12 > 0, решение которого y > 3 (у< - 4 не годится, так как противоречит условию y ≥ 0). Следовательно, данное неравенство равносильно неравенству х2 - 3 х + 5 > 9, решение которого состоит из двух бесконечных промежутков х < - 1 и х > 4.
При решении иррациональных и других неравенств полезно иметь в виду следующий прием, который мы разберем на примере.
Пример 4. Решить неравенство
Решение. Рассмотрим функцию
Тогда поставленную задачу можно сформулировать следующим образом: найти те значения х, для которых функция у принимает отрицательные значения.
Область существования этой функции, или множество допустимых значений исходного неравенства состоит из всех х, для которых
1- 8 х2 ≥ 0 и х ≠ 0, т. е.
Найдем теперь все значения х, при которых функция у обращается в нуль. Для этого надо решить уравнение
Решив его, найдем единственный корень 
. Этот корень разбивает область существования функции
на три промежутка: 
Взяв какое-нибудь x из промежутка (I), например 
находим, что
Так как наша функция на этом промежутке в нуль не обращается, то она для всех других х из этого промежутка будет принимать лишь отрицательные значения. (Строгое обоснование этого свойства элементарных функций дается в курсе высшей математики.)
Взяв теперь 
из промежутка (II), мы видим, что у также
отрицательно.
Для 
из промежутка (III) имеем
т. е. функция для всех х из этого промежутка принимает лишь положительные значения.
Таким образом, решением исходного неравенства являются все значения х из промежутков
