Найти производную скалярного поля
в точке М (1, 2, 3) по направлению нормали к поверхности F(x, y, z) = 6·x + 9·y2 − 4·z − 30, образующей острый угол с положительным направлением оси Оz.
Р е ш е н и е. Вычислим значения частных производных в точке М
Построим градиент скалярного поля в точке М
Подставив координаты точки М в уравнение поверхности S, убедимся, что точка М лежит на поверхности.
Найдём координаты вектора 
, который перпендикулярен поверхности S в точке М
Найдём модуль нормального вектора к поверхности в данной точке
Разделив вектор 
на его длину N, получим единичный нормальный вектор к поверхности в данной точке, координатами которого будут направляющие косинусы вектора
Обратим внимание, что третья координата этого единичного нормального вектора отрицательна. Это значит, что он образует тупой угол с положительным направлением оси Oz, поэтому необходимо выбрать противоположное направление по условию задачи
Производная скалярного поля по направлению равна проекции градиента поля на это направление. Поэтому
Выполнение примера в пакете MAPLE
> restart:with(linalg):with(geom3d):
> u:=(x,y,z)->ln(x+y^2)+sqrt(x^2+z);
> S:=(x,y,z)->6*x+9*y^2-4*z-30;
> point(M,1,2,3):
> pM:=S(xcoord(M),ycoord(M),zcoord(M));
> if pM=0 then `point is on the surface` else `point is not on the surface`fi;
> grd:=[D[1](u)(xcoord(M),ycoord(M),zcoord(M)),D[2](u)(xcoord(M),ycoord(M),zcoord(M)),D[3](u)(xcoord(M),ycoord(M),zcoord(M))];
> n:=[D[1](S)(xcoord(M),ycoord(M),zcoord(M)),D[2](S)(xcoord(M),ycoord(M),zcoord(M)),D[3](S)(xcoord(M),ycoord(M),zcoord(M))];
> N:=sqrt(n[1]^2+n[2]^2+n[3]^2);
> e:=evalm(n/N);
> dotprod(e,grd);
