Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 9. СУММИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

   Задачи на суммирование тригонометрических выражений требуют большой изобретательности.
   Во многих случаях представляют члены последовательности в виде разностей определенных функций так, чтобы получить подобные члены разных знаков, или применяют метод индукции (обычно, когда предлагается доказать формулу суммы) и т. д.
   Проиллюстрируем сказанное на следующих примерах.
   Пример 1. Найти сумму
Sn = sin x·sin Зх + sin 2x·sin 6x + ... + sin 2n-1x·sin 3·2n-1x.
   Решение. Каждое произведение правой части представим в виде разности:
.
Тогда
откуда после приведения подобных получим
   Иногда можно перейти от заданной последовательности к другой, методы суммирования которой известны.
   Пример 2. Найти сумму
Sn = sin х·sin 2х + sin 2x·sin 3x + ... + sin nx·sin (n+1) x.
   Решение. Вновь представляем каждое произведение левой части в виде разности:
.
Тогда
,
где
S1 = cos 3x + cos 5x +… + cos (2 n + l)x                        (*)
есть сумма косинусов, аргументы которых составляют арифметичеекую прогрессию с разностью d = 2x (см. гл. XI, § 1). Для нахождения S1 умножаем обе части равенства (*) на 2 sin x и используем формулу 2 sin α·cos β = sin (α + β) + sin (α - β). Получим
2 S1 sin x = (sin 4x - sin 2x) + (sin 6x - sin 4x) + … + [sin 2 (n+1)x - sin 2nx] = sin 2 (n+1)x - sin x.
Отсюда при sin x ≠ 0 находим
и, следовательно,
Если sin x = 0, т. е. x = π k, то Sn = 0.
   При суммировании синусов или косинусов кратных аргументов (k x, k = 1, 2, ...) с коэффициентами, образующими геометрическую прогрессию, целесообразно использовать формулу Муавра (cos x + sin x)n = cos nх + i sin nx (см. гл. I).
   Пример З. Найти суммы
Sn = cos x + 2 cos 2x + 4 cos 3x + ... + 2n-1cos nx,
и
σn = sin x + 2 sin 2x + 4 sin 3x + ... + 2n-1sin nx,
где х = 2 π/n.
   Решение. Вычислим сумму Sn + i σn :
Sn + i σn = (cos x+ i sin x) + 2 (cos 2x + i sin 2x) + ... + 2n-1 (cos nx + i sin nx) = (cos x + i sin x) + 2 (cos x + i sin x)2 + ...+ 2n-1 (cos x + i sin x)n.
Справа стоит сумма n членов геометрической прогрессии со знаменателем q = 2 (cos x + i sin x) и первым членом a = cos x+ i sin x. Поэтому
Замечая, что
и x = 2 π/n, получим
   Из равенства двух комплексных чисел следует равенство их действительных и мнимых частей, поэтому
   В следующем примере используем метод математической индукции.
   Пример 4. Доказать, что
                        (*)
   Решение. При n = 1 равенство очевидно (2 = 2). Допуская это равенство справедливым для некоторого n > 1, докажем справедливость его для n + 1. Очевидно, что
т. е. равенство (*) справедливо и для n + l.
   К задачам на суммирование тесно примыкают задачи на вычисление, произведений. Эти задачи также требуют большой изобретательности и иногда решаются умножением и делением произведения на некоторую тригонометрическую функцию.
   Пример 5. Вычислить
Рn = (1 + sec 2x) (1 + sec 4x)...(1 + sec 2nx).
   Решение. Очевидно,
Мы получили произведение косинусов, аргументы которых образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = 2.Поэтому умножим и разделим это произведение на sin x ≠ 0 (см. § 2, пример 3). Применяя затем последовательно формулу , получим
.
Если sin x = 0, т.е. x = π k, то Pn = 2n.
   Пример 6. Вычислить
   Решение. Умножим и разделим произведение на
Замечая, что
,
имеем:
   Если , т. е. β = 2n 2 k π ± α, то .
   Умножив и разделив правую часть на и применяя затем последовательно формулу , получим
.
   Если, наконец, и , т. е. α = 2n m π, то
Pn = (- 1)m 2n.