Простейшие тригонометрические уравнения
Пример 1
Пример 2
Решение уравнений вида f 2=a 2
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ГЛАВА XIII
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

(Простейшее уравнение sin x = a)
(Простейшее уравнение cos x = a)
(Простейшее уравнение tg x = a)
   Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида
1) sin х = а; 2) cos x = b; 3) tg x = c; 4) ctg x = d.
   Их решения легко находятся по формулам, полученным в главе XII. В самом деле, решить уравнение sin x = a это значит найти все числа х (или углы, или дуги), синус которых равен а. Все эти числа заключены в формуле (смотри вывод формулы)
х = Arcsin а = ( − 1)n arcsin a + π n.
Таким образом, при | а | ≤ 1 уравнение имеет бесчисленное множество решений и не имеет ни одного решения при | а | > 1. Аналогично для уравнения cos x = b все решения заключены в формуле х = Arccos b = ± arccos b + 2π n, где | b | ≤ l.
Уравнения tg x = c и ctg x = d имеют решения при любых действительных с и d. Все эти решения заключены в формулах
х = Arctg с = arctg с + π n
и
х = Arcctg d = arcctg d + πn,
соответственно. Рекомендуется помнить все эти формулы и их частные случаи, когда а = ± 1 и b = 0:
если sin х = 1, то х = + 2πк;
если sin x = − 1, то х = − + 2πк;
если cos x = 0, то x = + πk.
   К простейшим уравнениям примыкают уравнения вида sin α1 = sin β1; cos α2 = cos β2; tg α3 = tg β3; ctg α4 = ctg β4, где некоторые или все αi и βi- содержат неизвестное. Из условия равенства одноименных тригонометрических функций вытекают определенные соотношения между их аргументами (см. гл. Х, § 8). Так, из первого уравнения sin α1 = sin β1 получаем α1 + β1 = 2πk + π, α1? β1 = 2πk. Из второго уравнения cos α2 = cos β2 вытекает, что α1 ± β1 = 2πk, и т. д.
   Пример 1. Решить уравнение tg 3x = tg 7x.
   Решение. Из условия равенства тангенсов находим
7 х − 3 х = π n, т. е. .
Из этой совокупности нужно отбросить те значения х, которые не принадлежат множеству допустимых значений данного уравнения т. е. те, для которых 3x = + kπ и 7х = + mπ. Проверяя первое условие, мы видим, что нужно отбросить те значения n, для которых равенство выполняется при целых k, или (что то же самое), те значения n, для которых целое число. Чтобы выделить эти значения, представим n в виде n = 4s + l, где l принимает значения 0, 1, 2, 3. Очевидно, что всякое целое число можно представить в таком виде (см. гл. I). Тогда будет целым в том и только в том случае, когда l = 2. Таким образом, при n = 4s + 2 значения не входят в множество допустимых значений и, следовательно, не являются корнями данного уравнения.
   Проверяя второе условие, мы видим, что нужно отбросить те значения n, для которых при целом m, или есть целое число. Представляя n в виде n = 4s + l ( l = 0, 1, 2, 3) находим, что m будет целым в том единственном случае, когда l = 2, т. е. n = 4s + 2.
   Итак, все решения данного уравнения содержатся в формуле , где n ≠ 4s + 2 (s = 0, ± 1, ± 2, ..,).
   Пример 2. Решить уравнение .
   Решение. Сразу находим, что
,
откуда
.
Последнее уравнение имеет решения для тех значений n, при которых
,
т. е. при n = 0 и n = ± 1. При этих значениях n мы имеем три простейших уравнения:    Отметим также тригонометрические уравнения вида sin2x = a2. cos2x = b2, tg2x = c2, ctg2x = d2, каждое из которых равносильно двум простейшим. Решая, например, уравнение sin2 x = а2, получаем sin x = а и sin x = − а. Отсюда находим, что х1 = (− l )n arcsin a + π n и х2 = ? (− l )n arcsin a + π n. Очевидно, обе эти формулы можно объединить в одну:
х = ± arcsin a + π n.
   Итак, все решения уравнения sin2x = а2 содержатся в формуле х = ± arcsin a + π n.
   Для уравнения cos2x = b2 получаем cos x = b и cos x = - b. Отсюда находим х1 = ± arccos b + 2πn и х2 = ± arccos ( − b) + 2πn. Учитывая что arccos (− b) = π ? arccos b, получим х2 = ± arccos b+ π (2n + 1). Сравнивая формулы для х1 и х2, мы видим, что их можно объединить в одну:
х = ± arccos b + π n,
где n - любое целое число. При k = 2n получаем xl при k = 2n + l получаем х2.
   Итак, все решения уравнения cos2x = b2 содержатся в формуле х = ± arccos b + πn.
   Аналогично получаем, что все решения уравнения tg2x = c2 содержатся в формуле х = ± arctg c + πk, а решения уравнения ctg2x = d2 - в формуле х = ± arcctg d + πk.
   Если уравнение не является простейшим, то с помощью тождественных преобразований его нужно свести к одному или нескольким простейшим. При этом (еще раз предостерегаем читателя!) по возможности нужно избегать тех преобразований, которые нарушают равносильность. В случае неизбежности таких преобразований необходимо провести соответствующие исследования (см. гл. III, § 1 и 2).