ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
§ 2. СВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ К ПРОСТЕЙШИМ С ПОМОЩЬЮ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
(Однородные тригонометрические уравнения с нулевой правой частью)
(Преобразование гармоники)
(Однородные тригонометрические уравнения с ненулевой правой частью)
В этом параграфе приведен ряд тригонометрических уравнений, решение которых основано на известных уже тождественных преобразованиях (см. гл. XI).
Пример 1. Решить уравнение
cos 10 х − cos 8x − cos 6x + 1 = 0.
Решение. Сгруппируем первый член с третьим, второй с четвертым и каждую группу свернем в произведение. Имеем
(cos 10х − cos 6x) + (l − cos 8x) = 0,
− 2 sin 8x·sin 2x + 2 sin24x = 0.
Чтобы получить общий множитель, развернем sin 8x по формуле двойного аргумента:
− 4 sin 4х·cos 4х·sin 2x + 2 sin2 4x = 0.
Один из множителей второго слагаемого (sin 4x) также развернем по формуле двойного аргумента:
− 4 sin 4x·cos 4x·sin 2х + 4 sin 2х·cos 2x·sin 4x = 0,
sin 4x·sin 2x·(cos 4х − cos 2x) = 0.
Последнее уравнение распадается на три уравнения:
sin 4x = 0, sin 2x = 0, cos 4x = cos 2x.
Решая каждое из них, находим
Если решение тригонометрического уравнения получено в виде нескольких формул, то необходимо проверить, не повторяют ли эти формулы одни и те же значения х. Так в нашем случае х2 = π n/2 содержатся в формуле х1 = π n/4, a x4 = πn содержатся в формуле x3 = π n/3 или в х1. Значит формулы х2 = π n/2 и x4 = πn не дают ничего нового по сравнению с х3 и x4 (они входят в них). Поэтому лишние формулы нужно отбросить, и мы окончательно получаем х1 = π n/4, х2 = π n/2. Заметим при этом, что некоторые решения входят как в первую, так и во вторую формулу и можно было бы продолжать "изъятие" повторяющихся решений. Однако это уже не столь важно и можно эти "изъятия" не проделывать.
Пример 2. Решить уравнение
.
Решение. Переходя от аргумента 2 x к аргументу х и вынося за скобки общий множитель cos x + sin x, имеем
.
Данное уравнение распадается на два уравнения sin х + cos x = 0, т.е. 
(см. гл. X, § 7), и
т. е. 
так как
.
Из уравнения 
находим 
+ x1 = π n и x1 = − + π n.
Из уравнения 
следует, что
и 
,
откуда 
и 
.
Итак, все решения данного уравнения содержатся в формулах
x1 = − + π n, x2 = − 
+ 2 π n, x3 = − 
+ 2 π n.
Пример 3. Решить уравнение
tg x + tg 2x = tg 3x.
Решение. Преобразуя сумму тангенсов в произведение и перенося tg 3x в левую часть уравнения, имеем
.
После приведения к общему знаменателю и отбрасывания последнего получаем уравнение
sin 3x·cos 3x − sin 3x·cos x·cos 2х = 0, (*)
равносильное данному при условии, что
cos х ≠ 0, cos 2x ≠ 0 и cos 3x ≠ 0.
Уравнение (*) равносильно, в свою очередь, совокупности двух уравнений
sin 3x = 0 и соs 3x − cos x·cos 2x = 0.
Решая первое из них, получаем 3x1 = πn и 
. Во втором уравнении произведение cos х·cos 2x преобразуем в сумму. Получаем
, или cos 3x = cos x.
Отсюда следует, что 3x ± x = 2πn, т. е. х2 = πn и 
. Анализируя полученные формулы для х1, х2 и х3, замечаем, что х1 и х2 входят во множество допустимых значений данного уравнения при всех целых значениях n, а из х3 нужно исключить углы
,
для которых 
( n = 2 k + 1).
Если же n = 2k, то углы 
входят в формулу для х2. Таким образом, все решения данного уравнения содержатся в формуле 
.
В следующих уравнениях при преобразовании к произведению целесообразно ввести вспомогательный аргумент.
Пример 4. Решить уравнение (Калькулятор)
a sin x + b cos x = c, а > 0, b ≠ 0.
Решение. Представляя левую часть уравнения в виде 
, где
(см. гл. X § 7), имеем
Это простейшее уравнение имеет решение, если 
, т. е. с2 ≤ а2 + b2. При этом условии
и
.
Так как cos φ > 0, то аргумент φ можно выбрать в интервале ( − 
, ), т. е. 
.
Тогда решение уравнения a sin x + b cos x = c запишется формулой
.
Замечание. Ограничение а > 0 несущественно, так как заменой знаков членов уравнения всегда можно сделать коэффициент при sin х положительным.
Пример 5. Решить уравнение
4 sin (2х + 20°) − cos (2х + 200°) = 3.
Решение. Замечая, что cos (2х + 200°) = ? cos(2x + 20°), имеем
4 sin (2х + 20°) + cos (2х + 20°) = 3,
, где 
.
Итак, мы получили простейшее уравнение
,
откуда находим, что
,
.
Пример 6. Решить уравнение
.
Решение. Учитывая, что
,
перепишем уравнение, сгруппировав при этом первые два члена:
.
Преобразуя содержимое квадратной скобки в произведение, получаем
,
где 
. Отсюда следует, что
,
т. е.
и
.
Решая эти уравнения относительно х, находим
и
.
В следующих уравнениях перед преобразованием суммы в произведение полезно понизить показатели степени функции синус и косинус.
Пример 7. Решить уравнение
2 cos2 (80° − x) + cos 2x = l + sin 20°.
Решение. Понижая вторую степень косинуса, имеем
1 + cos (160° − 2х) + cos 2х = 1 + sin 20°.
Свертывая сумму косинусов в произведение, получаем
2 cos 80°·cos (80° − 2х) = sin 20°,
или
2sin 10°·cos(80° − 2x) = 2sin 10°·cos 10°.
Отсюда следует, что cos(80° − 2х) = cos 10°, т. е. 80° − 2х ± 10° = 360°·n.
Итак, х1 = 45° + 180°·n, х2 = 35°+ 180°·n.
Пример 8. Решить уравнение
.
Решение. Понижая вторые степени и приводя подобные члены, имеем
.
Группируем первый член с третьим, второй с четвертым и каждую группу преобразуем в произведение. Получаем
.
Это уравнение распадается на два:
.
Решая первое, находим
.
Из второго следует, что
и
т.е.
В следующих уравнениях выделяем тригонометрическую единицу (sin²α + cos²α)k.
Пример 9. Решить уравнение
.
Решение. Выделяя в левой части полный квадрат, имеем
,
или
1
Понижаем степень синуса и после очевидных преобразований получаем уравнение cos 6x = − cos 4x, или cos 6x = cos (π − 4x), откуда находим, что 6x ± (π − 4x) = 2 π n. В первом случае имеем x1 = − π + 2 π n и x1 = − + π n. Во втором случае: 10 х2 = π + 2 π n и 
.
Пример 10. Решить уравнение
sin4 2x + cos42x ? 2sin 4x + ¾·sin² 4x = 0.
Решение. Дополняя sin42x + cos42x до полного квадрата, получаем
(sin2 2х + cos2 2х)2 − 2 sin2 2x·cos2 2x − 2 sin 4x + ¾ sin3 4x = 0,
или
1 + ¼ sin24x − 2sin 4x = 0.
Мы получили квадратное уравнение относительно sin 4x. Решая его, находим sin 4x = 4 − 2 
(корень 4 + 2 > 1 − не годится). Следовательно, 4х = (− 1)n arcsin (4 − 2 ) + π n и
.
Пример 11. Решить уравнение
.
Решение. Используя тождество a³ + b³ = (a + b)³ − 3 ab(a + b), где
, и учитывая, что a + b = 1, имеем
, или 
.
Решая последнее уравнение (см. § 1), находим
и 
.
Если уравнение содержит произведение тригонометрических функций, то иногда целесообразно это произведение преобразовать в сумму.
Пример 12. Решить уравнение
cos 7πх·sin 6 πх = cos 5πх·sin 8πх.
Решение. Раскладывая каждое произведение в алгебраическую сумму, получаем
½ (sin 13πх − sin πх) = ½ (sin 1З πх + sin 3 πх),
или
sin З πх = sin (− πх).
Из последнего уравнения следует, что З πх − πх = π + 2πn и З πх + πх = 2πn. Таким образом х1 = 1/2 + n и х2 = n/2. Легко заметить, что первая формула получается из второй, если в последней n − нечетное. Поэтому окончательно можно записать х = n/2.
Пример 13. Решить уравнение
.
Решение. Записав уравнение в виде
,
преобразуем содержимое каждой скобки в алгебраическую сумму. Тогда
,
или
cos 2x·cos x + cos2x − sin x·cos x + sin x·cos 2x = 1.
Если каждое произведение вновь преобразовать в сумму, то полученный результат не будет содержать подобных членов и уравнение усложнится. Лучше заменить cos2x через 1 − sin2x и сгруппировать полученные члены:
(cos 2х·cos х + sin x·cos 2x) − sin x (cos х + sin x) = 0,
что дает
(cos 2x − sin x)·(cos x + sin x) = 0.
Итак, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
cos 2x − sin x = 0 и cos x + sin x = 0.
Решая первое, находим cos 2x = cos( − x) и 2х ± ( − х) = 2πn, откуда получаем, что x1 = − + 2 πn и 
.
Из второго уравнения находим, что 
.
Пример 14. Решить уравнение
tg (40° + x)·ctg (5° − x) = 2/3.
Решение. Множество допустимых значений данного уравнения состоит из всех действительных значений х, для которых sin (5° − х) ≠ 0 и cos (40° + х) ≠ 0. Переходя в левой части уравнения к функциям синус и косинус и преобразуя числитель и знаменатель в сумму, получаем уравнение
3 [sin 45° + sin (35° + 2х)] = 2 [sin 45° − sin (35° + 2х)],
равносильное данному на его множестве допустимых значений. Последнее уравнение сводится к простейшему 
, откуда находим, что
.
Пример 15. Решить уравнение
.
Решение. Множество, допустимых значений данного уравнения состоит из всех действительных значений х, для которых sin x ≠ 0, cos x ≠ 0, cos 2x ≠ 0 и ctg x + tg x ≠ 0.
Прежде чем переходить к решению уравнения, упростим выражение
.
Имеем
Поэтому 
.
Заменяя А полученным значением, после приведения подобных членов имеем
4 cos х·cos 2x·cos 5x = cos 6x.
Переходя в левой части от произведения к сумме, находим 2 cos 2x (cos 6x + cos 4x) = cos 6x,
2 cos 2x·cos 6x + 2 cos 2x·cos 4x = cos 6x.
Второе слагаемое преобразуем в сумму:
2 cos 2x cos 6x + cos 6x + cos 2x = cos 6x,
откуда
2 cos 6x·cos 2x + cos 2x = 0.
Это уравнение распадается на два простейших: cos 2x = 0 и cos 6x = − ½. Однако решения первого уравнения не входят во множество допустимых значений данного уравнения и их надо отбросить. Остается лишь второе уравнение cos 6x = ? ½, корни которого содержатся в формуле
.
При решении уравнения нужно знать его множество допустимых значений, чтобы не получить лишних корней, как это могло случиться в предыдущем примере.
Рассмотрим еще одно уравнение, при решении которого неопытный учащийся может допустить подобную ошибку.
Пример 16. Решить уравнение
2 ctg 2х − 3 ctg 3х = tg 2х.
Р е ш е н и е. Множество допустимых значений данного уравнения состоит из всех действительных значений х, для которых sin 2x ≠ 0, sin 3x ≠ 0 и cos 2x ≠ 0. Переписав уравнение в виде
2 (ctg 2x − ctg Зx) = tg 2x + ctg 3х,
переходим к синусам и косинусам в его левой и правой частях. Получаем уравнение
которое равносильно уравнению
sin x·cos 2x = cos х·sin x, или sin x = 0
при указанных ограничениях.
Однако корни уравнения sin x = 0 не входят в множество допустимых значений данного уравнения и, следовательно, не являются его решениями.
Итак, данное уравнение не имеет решений.
В заключение этого параграфа приведем следующие полезные примеры.
Пример 17. Решить уравнение
Решение. Так как 
и | cos 2x | ≤ 1, то левая часть уравнения равна единице тогда и только тогда, когда одновременно
В случае (а) из первого уравнения находим, что 
, т. е. х = π + 4πn. Из этих значений х нужно выбрать такие, которые одновременно удовлетворяют и второму уравнению. Подставляя эти значения х в левую часть второго уравнения, получаем cos 2 (π + 4πn) = cos 2π = 1.
Таким образом, значения х = π + 4πn являются решением нашего уравнения.
В случае (б) из первого уравнения находим, что 
, откуда х = − π + 4πn. Подставляя эти значения в левую часть второго уравнения, имеем cos 2 ( - π + 4πn) = cos 2π = 1.
Последнее означает, что х = ? π + 4πn не является решением системы (б), следовательно, и данного уравнения.
Пример 18. Решить уравнение
sin х + sin 2x + sin 3х + … + sin nx = n.
Решение. Так как |sin kx| ≤ 1 при любом k, а число слагаемых равно n, то левая часть данного уравнения равна n в том единственном случае, когда каждое слагаемое равно 1, т. е. sin х = 1, sin 2x = 1, sin Зх = 1, ..., sin nx = 1. Решая первое уравнение, находим,, что x = + 2πk. Однако эти значения не обращают в единицу уже второе слагаемое sin 2x, так как 
при любом k. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Пример 19. Решить уравнение
sin9х + cos9x = 1.
Решение. Левая часть уравнения может быть равна единице в том единственном случае, когда
В самом деле, складывая очевидные неравенства sin9x ≤ sin2х, cos9х ≤ cos2х, получаем sin9x + cos9x ≤ 1. В последнем неравенстве равенство достигается для тех значений х, для которых оно достигается одновременно в исходных неравенствах, т. е. когда sin x = 0 и cos x = l или sin x = l, a cos x = 0. Таким образом, наше уравнение равносильно двум системам (а) и (б), каждая из которых содержит одно неизвестное.
Решая систему (а), находим, что х = 2πn. Решая систему (б), находим, что х = + 2 πn. Итак, все решения данного уравнения содержатся в формулах х1 = 2πn и х2 = + 2 πn.
Пример 20. Решить уравнение
(cos 4х − cos 2х)2 = sin Зх + 5.
Решение. Преобразуя левую часть уравнения в произведение, имеем
4 sin2x·sin23x = sin 3x + 5. (*)
Так как при любых х справедливы неравенства 4 sin2x·sin23x ≤ 4 и sin 3x + 5 ≥ 4, то равенство (*) возможно лишь для тех значений х, для которых одновременно
4 sin2x·sin23x = 4 и sin 3x + 5 = 4.
Итак, наше уравнение равносильно системе двух уравнений с одним неизвестным
Из первого уравнения находим, что х = + πn. Подставляя эти значения в левую часть второго уравнения, получаем
Отсюда мы видим, что решения первого уравнения sin2x = l удовлетворяют второму лишь при n = 2k. Итак, все решения данного
уравнения заключены в формуле х = + 2πk.