13_3

ВВЕРХ

Приведение к одной функции

Общий метод рационализации

Однородные тригонометрические уравнения и приводящиеся к ним

Уравнения, рациональные относительно выражений sin x + cos x и sin х·cos x

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

§ 3. СВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ К РАЦИОНАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

   Пусть тригонометрическое уравнение приведено к одному аргументу, т. е. все тригонометрические функции, входящие в уравнение, содержат один и тот же аргумент α. Тогда все тригонометрические функции могут быть выражены через какую-либо одну, и мы получаем уравнение с одним неизвестным. Такой метод решения целесообразен в том случае, когда в результате всех преобразований получается рациональное уравнение невысокой степени, равносильное данному (или мы можем указать условия, при которых полученное уравнение равносильно данному).
   Пример 1. Решить уравнение (2 sin² х + 5 sin x + 1) ctg x = 4 sec x (1 + sin x).    Решение. Множество допустимых значений данного уравнения состоит из всех действительных значений х, для которых sin x ≠ 0 и cos х ≠ 0. Поэтому, переходя к функциям sin x и cos x, после приведения к общему знаменателю получаем уравнение (2sin²x + 5 sin x + l) cos²x = 4 sin x (l + sin x), равносильное данному на его множестве допустимых значений. Перейдем к одной функции. Для этого cos²x заменяем на 1 − sin²x и получаем (2sin²x + 5 sin x + l)·(1 − sin²x) = 4 sin x (l + sin x), или (l + sin x)(2 sin³x + 3 sin²x − 1) = 0.                     (*) Так как cos x ≠ 0, то l + sin x ≠ 0 и уравнение (*) равносильно уравнению 2 sin³x + 3 sin²x − 1 = 0. Левая часть последнего уравнения раскладывается на множители: (1 + sin x) (2 sin²x + sin x − 1) = 0, и мы получаем еще более простое уравнение 2 sin²x + sin x − 1 = 0, равносильное данному при указанных ограничениях.
   Итак, мы пришли к квадратному уравнению относительно функции sin x. Решая его, находим sin x = ½, х = (− 1)ⁿ

+ πn и sin x = − 1. Корни последнего уравнения не входят во множество допустимых значений данного уравнения.
Укажем несколько приемов, сводящих тригонометрическое уравнение к рациональному.

Общий метод рационализации. Всякое тригонометрическое уравнение, рациональное относительно всех входящих в него тригонометрических функций одного и того же допустимого аргумента α, приводится к рациональному уравнению с одним неизвестным. Рационадизация означает, что тригонометрические функции аргумента α, входящие в уравнение, связаны операциями сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.
   В самом деле, все тригонометрические функции аргумента α рационально выражаются через , если α ≠ π + 2 πn: , ,
,                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           Производя в данном уравнении эту замену, мы получаем рациональное уравнение относительно неизвестного . Дальнейшее решение полученного уравнения подробно рассмотрено в курсе алгебры (см. гл. III, § 4). Однако, решая уравнение таким методом, мы можем потерять корни вида α = π + 2πk, для которых вышеуказанная замена не имеет смысла. Поэтому, при решении уравнения этим методом, необходимо проверить, являются ли числа π + 2πk корнями данного уравнения.
   Пример 2. Решить уравнение 3 sin x − 2 cos x = 2.    Решение. Это уравнение можно решить методом введения вспомогательного угла (см. пример 4, § 2). Укажем другой путь его решения.
   Предполагая, что х ≠ π + 2πn, выразим sin x и cos ч через . Получим уравнение , которое после приведения к общему знаменателю и дальнейших упрощений примет вид . Отсюда находим, что . Остается проверить, будут ли числа х = π + 2πn удовлетворять исходному уравнению. Подставляя их в левую часть этого уравнения: 3 sin (π + 2πn) − 2 cos (π + 2πn) = − 2 cos π = 2, убеждаемся, что они также ему удовлетворяют.
   Итак, все корни данного уравнения заключены в формулах   и   х₂ = π + 2πn.    Пример 3. Решить уравнение sin 4x + tg 2x = 2.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           Решение. Выражая sin 4x через tg 2x, получаем уравнение , равносильное данному, которое после очевидных упрощении приводится к кубическому уравнению относительно tg 2x: tg³ 3x − 2 tg²2x + 3 tg 2x ? 2 = 0. Левая часть этого уравнения раскладывается на множители: (tg 2х − 1)·(tg² 2x − tg 2х + 2) = 0. Решая уравнение tg 2x − 1 = 0, находим 2х = + πn и .
   Второе уравнение tg²2x − tg 2x + 2 = 0 не имеет действительных корней.
   Заметим, что общий метод рационализации не всегда является приемлемым. Часто он приводит к рациональным уравнениям высоких степеней. Так, решая этим методом уравнение 2sin 2x = 3 (sin x + cos x), получаем уравнение З z⁴ + 10 z³ − 2 z − 3 = 0 (z = ), которое не имеет рациональных корней (см. гл. III, § 10). Решение этого уравнения другим методом будет приведено в п. III этого параграфа.
Однородные тригонометрические уравнения и приводящиеся к ним. Тригонометрическое уравнение вида A₀cosⁿx + A₁cos^n-1x·sin x + A₂cos^n~2x·sin²х +.. .+ A_nsinⁿх = 0                     (2) называется однородным уравнением относительно функций sin x и cos x. Степень его однородности равна n.
   Будем в дальнейшем это уравнение называть просто однородным. Так, например, уравнение sin x + 3 cos x = 0 является однородным (1-й степени однородности), а уравнение sin 2x + cosx = 0 неоднородно, что ясно после приведения к одному аргументу 2 sin x·cos x + cosx = 0.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           Предположим, что коэффициенты А₀ ≠ 0 и А_n ≠ 0. В этом случае решениями уравнения (2) не могут быть те значения х, для которых sin x = 0 или cos x = 0.
   Допустим противное. Пусть sin x = 0. При этом cos x = ± 1. Тогда из уравнения (2) получаем, что A₀соsⁿx = 0 и так как A₀ ≠ 0, то cos x = 0. Получилось противоречие. Аналогично доказывается, что cos x ≠ 0. А если это так, то, разделив уравнение (2) на cos ⁿ x или sin ⁿx, мы получаем уравнения A₀ tgⁿ x + A₁ tg^n-1 x + A₂ tg^n-2 x + … + A_n =0                     (3) или A₀ + A₁ ctg x + A₂ ctg² x + … + A_n ctgⁿ x = 0                     (4) равносильные данному. Уравнения (3) и (4) являются рациональными относительно tg x или ctg x соответственно.
   В том случае, когда коэффициенты A₀ или А_n обращаются в нуль, левая часть уравнения (2) раскладывается на множители. Приравнивая нулю каждый из них, получаем два уравнения, из которых одно простейшее cos x = 0 (или sin x = 0), а другое однородное, сводящееся к уравнениям (3) или (4).
   Умножением на тригонометрическую единицу (sin ² x + cos ² x)^k можно привести к однородному некоторые уравнения, не являющиеся однородными. Например, неоднородное уравнение sin x cos x + sin²x − 3 cos²x = 5 приводится к однородному sin x cos x + sin²x − 3 cos²x = 5 (sin²x + cos²x) или sin х·cos x − 4 sin²x − 8 cos²x = 0. Уравнение sin x + cos 2x·cos x = 0, не являющееся однородным, приводится к однородному уравнению sin х (sin²x + cos²x) + (cos²x − sin²x) cos x = 0 и т. д.
   Пример 4. Решить уравнение a (sin x + cos x) = b (cos x − sin x).    Решение. Уравнение является однородным. Разделив все его члены на cos x, получаем равносильное данному простейшее уравнение (а + b) tg x = b − а.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           Пусть а + b ≠ 0. Тогда и . Если a + b = 0, то данное уравнение является также простейшим: cos х = 0 и х = + πn.
   Пример 5. Решить уравнение sin³ 2х + cos 2x cos 4х = 3 sin 2х·cos²2х − cos 2x.аргументу 2х, имеем уравнение sin³2х + cos 2х = 3 sin 2х·cos²2x (1 + cos 4x), или 2 cos³2x − 3 sin 2x·cos²2x + sin³2х = 0, которое равносильно уравнению tg³2x − 3 tg x + 2 = 0. Последнее распадается на два: tg 2x − 1 = 0 и tg 2x + 2 = 0. Решая их, находим .    Пример 6. Решить уравнение sin (х + 5) + cos (х − 2) = cos (x + 7).                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           Решение. Уравнение имеет "страшный" вид. Однако это однородное уравнение относительно sin x и cos x. Раскрывая синус суммы и косинус суммы и разности и группируя члены, имеем sin х (cos 5 + sin 2 + sin 7) + cos x (sin 5 + cos 2 − cos 7) = 0. Так как cos5 > 0, sin 2 > 0 и sin 7 > 0, то cos 5 + sin 2 + sin 7 > 0 и последнее уравнение равносильно уравнению , откуда получаем .    Пример 7. Решить уравнение .    Решение. Так как ,
, то данное уравнение можно записать в виде . Последнее равносильно совокупности двух уравнений: (a)    при условии, что и (б)    при условии, что , причем оба уравнения однородные.
   Решая уравнение (а), находим, что , x = − + arctg m² + πn. При n = 2k аргумент х + оканчивается в I четверти, где . При n = 2k + 1 аргумент х + оканчивается в III четверти, где . Следовательно, n = 2k + l не подходит, т. е. x = − + arctg m² + 2 πn. Решая уравнение (б), находим, что , x = − − arctg m² + πn. При n = 2k аргумент х + оканчивается в IV четверти, где . При n = 2k + 1 аргумент х + оканчивается во II четверти, где . Следовательно, n = 2k + 1 не подходит, т. е. x = − − arctg m² + 2 πk.
   Итак, все решения данного уравнения заключены в формулах: x₁ = − + arctg m² + 2 πn  и  x₂ = − − arctg m² + 2 πn. Очевидно, обе эти формулы можно объединить в одну: x = − ± arctg m² + 2 πn
Уравнения, рациональные относительно выражений sin x + cos x и sin х·cos x. Такие уравнения можно записать формулой R (sin x + cos x , sin х·cos x) = 0, где буква R обозначает, что над аргументами sin x + cos x и sin x·cos x (рассмотренными как единые), производятся лишь рациональные операции (см. гл. III, § 4). Обозначая sin х + cos х = u, из тождества (sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x cos x находим, что . Заменяя в уравнении R (sin x + cos x, sinx cos x) = 0 величины sin x + cos x и sin x cos х их выражениями через u, получаем . Последнее уравнение является, очевидно, рациональным относительно u. Найдя из него u, решаем уравнение sin x + cos x = u, или , где u - известная величина.
   Замечание. Если после нахождения u искать х из уравнения sin x cos x = u, то среди последних могут оказаться лишние корни, так как этому уравнению будут удовлетворять и все корни уравнения sin x + cos x = − u.
   Аналогично решаются уравнения R (sin x − cos x, sin x·cos x) = 0. Обозначая sin x − cos x = u, находим, что , и т. д.
   Пример 8. Решить уравнение a (sin х + cos x) + b sin x·cos x = c.                                                                                                                                                                                                       Решение. Обозначая sin x + cos x = u, получаем , откуда , или b u² + 2 a u − (b + 2 c) = 0. Решая это квадратное уравнение, находим при условии, что b ≠ 0 и a² + b² + 2bc ≥ 0. Очевидно, что данное уравнение имеет решение, если выполнены указанные условия и, кроме того, | u | ≤ .
   Рассматривая, в частности, уравнение 2sin 2х = 3 (sin x + cos x), имеем: 3 u − 2 (u² − 1) = 0, u₁ = − ½, u₂ = 2 (не подходит). Следовательно, sin x + cos x = − ½, или . Отсюда находим, что и .    Пример 9. Решить уравнение sec х + cosec x + sec x·cosec x = 5.    Решение. Множество допустимых значений данного уравнения состоит из всех действительных значений х, для которых sin х ≠ 0 и cos x ≠ 0. При этих условиях данное уравнение равносильно уравнению sin х + cos x − 5 sin x·cos x + 1 = 0. Заменой sin x + cos x = u сводим это уравнение к квадратному 5 u² − 2 u − 7 = 0, корни которого равны − 1 и 7/5. Итак, наше уравнение свелось к двум уравнениям: sin х + cos х = 7/5 и sin x + cos x = − 1. Решая первое, находим   и   Решая второе, находим   ,   Однако значения х₂ не являются решениями данного уравнения.
   Пример 10. Решить уравнение .    Решение. Заменой sin x + cos x = u сводим данное уравнение к рациональному . Решая последнее, находим: u₁ = 2/3 и u₂ = − 3 (не подходит). Итак, данное уравнение равносильно уравнению ,  или  , откуда находим, что .                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          В некоторых случаях выгодно производить замену аргумента. Покажем это на следующем примере.
   Пример 11. Решить уравнение .    Решение. Обозначая , перепишем уравнение в виде: , или ctg 2y = tg³y (2у ≠ πn).
   Переходя к функции tg y, получаем биквадратное уравнение 2 tg⁴y + tg²y - 1 = 0, решая которое, находим: , y_3,4 −мнимые. Следовательно, . Возвращаясь к х, получаем .