Обзор пройденного материала
Правило VIII
Правило IX
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Пример 7
Пример 8
Пример 9
Пример 10
Пример 11
Пример 12
Пример 13
Пример 14
Пример 15
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ГРАФИКИ
§ 1. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ С ПОМОЩЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

   В предыдущих главах были построены графики функций:
y = kx + b, , y = a x2 + b x + c, y = xn,
, у = ах, y = log a x, у = A sin (ω х + φ),
у = A cos (ω х + φ), y = arcsin x, y = arccos x, у = arctg x, y = arcctg x.
   В § 8 гл. VII были рассмотрены некоторые простейшие преобразования графиков и правила, по которым из графика функции y = f (x) можно получить графики следующих функций:
  1. y = f (x + a) (переход от функции y = f (x) к функции у = f (x + a) условимся в дальнейшем обозначать символом х → х + а).
  2. y = f (x) + b или у − b = f (x) (коротко: у → у + b).
  3. f = f (х + а) + b или у - b = f (x + a) (коротко: х → х + а, у → у + b).
  4. y = f (a x), где а > 0 (коротко: х → а х).
  5. y = b f (x), или (коротко: y → b y).
  6. y = f ( − х) (коротко: x → − х).
  7. y = − f (x) или - y = f (x) (коротко: у →−у).
    К этим правилам добавим еще два.
  8. Правило получения графика функции y = f (| x |) по графику функции y = f (x) (коротко: x → | x |).    Запись f (| х |) означает, что в выражении f (х) буква х, в него входящая, заменяется на | х |.
       Например, если f (x) = sin ( 2 x + 1), то f(| x |) = sin (2 | х | + 1).
       Так как f (| − x |) = f (| x |), то, следовательно, функция f = f (| x |) - четная и поэтому достаточно построить ее график для х ≥ 0 (см. гл. VII). Но для х ≥ 0 имеем | х | = х и поэтому f (| х |) = f (х), т. е. график функции y = f (| x |) для х ≥ 0 совпадает с графиком функции y = f (x). Таким образом, мы получили следующее правило.
       Правило VIII. График функции y = f (| х |) совпадает с графиком функции y = f (x) в правой полуплоскости (х ≥ 0), а в левой полуплоскости (х < 0) симметричен этой части графика относительно оси Оу (смотри рисунок.).
  9. Правило получения графика функции y = | f (x) | по графику функции у = f (х) (коротко: f (х) → | f (х)|).
   Согласно определению абсолютной величины действительного числа имеем
Так как график функции y = − f (х) согласно правилу VII симметричен графику функции y = f (x) относительно оси Ох, то, следовательно, имеет место следующее правило.
   Правило IX. График функции у = | f (х) | совпадает с графиком функции y = f (x) для тех участков оси Ох, где f (x) ≥ 0, и является симметричным отображением его относительно оси Ох для тех участков, где f (х) < 0 (смотри рисунок.).
   Способ построения графика функции y = f (x), использующий рассмотренные элементарные преобразования, заключается в следующем. Составляют так называемую "цепочку" функций:
y = f (x), y = f1 (x), y = f2 (x), … , y = fn (x)
таким образом, чтобы две соседние функции y = fk(x) и y = fk+1(x) отличались друг от друга каким-нибудь из разобранных признаков, а график последней функции "цепочки" y = fn(x) был бы известен. Затем последовательно строят графики функций 1) y = fn(x), 2) y = fn-1(x), … y = f (x) получая каждый следующий график из предыдущего по известному правилу.
   Такие построения в отдельных случаях во избежание нагромождения графиков удобнее производить на отдельных рисунках. "Цепочки" можно составлять по-разному, но лишь таким образом, чтобы переход от одной функции к другой каждый раз подчинялся какому-нибудь одному из рассмотренных правил.
   Пример 1. Построить график функции:
.
   Прежде всего замечаем, что
.
Теперь составим "цепочку", например, таким образом:
3)   y = − | х − 2 |  ( − у → у),смотри рисунок.)
2)   y = | x - 2 |  (| f (x) | → f (x ), (смотри рисунок.)
1)   у = х − 2. (смотри рисунок.).
   Здесь и в дальнейшем в скобках указывается в сокращенных обозначениях то правило, по которому график этой функции получается из графика последующей функции.
   Теперь согласно этим правилам строим последовательно графики 1), 2), 3).
   Если составим "цепочку" следующим образом: и теперь последовательно построим графики функций 1), 2), 3), то, как видим, результат получается тот же.
   Пример 2. .
   Составляем "цепочку": Теперь строим последовательно графики 1) -3).
   Пример 3. .
   В этом примере х является функцией у. Выразим из этого уравнения у как функцию х.
   Имеем , откуда замечаем, что х − 1 ≥ 0, т.е. х ≥ 1 (так как арифметический корень не может принимать отрицательных значений). Возведя в квадрат, получаем (х − 1)2 = 1 − y и окончательно y = − (х − 1)2 + 1. Графиком этой функции будет парабола, изображенная на (рисунке), а графиком искомой функции будет правая ветвь этой параболы, для которой х ≥ 1. Очевидно, левая ветвь параболы будет графиком функции .
   Заметим, что можно и не разрешать данное уравнение относительно у, а рассматривать у как независимую переменную.
   Пример 4. y = (1 − x)3 .
   Составим "цепочку", например, так: График изображен на рисунке.
   Пример 5. y = 3| x + 1 | - 1.
   Составим "цепочку", например, так:    Строим последовательно графики функций 1) -3).
   Пример 6. .
   Эту функцию можно задать как (при вынесении показателя степени за знак логарифма основание степени взято по абсолютной величине, так как имеет смысл и при x + l < 0 (см. гл. VIII, § 2).
   Теперь составим "цепочку", например, так: Строим последовательно графики функций 1) -4).
   Пример 7. .
   Записав эту функцию в виде y = − log2 (З х − 2), составляем "цепочку": и строим последовательно графики 1) − 3).
   Пример 8. y = 2 sin ( 1 − 2 x ).
   Имеем    Теперь строим последовательно графики функций 1), 2) (рис. 86). Для контроля находим, что при х = 0 значение у = 2 sin 1 ≈ 2 sin 60° = ≈ 1,7.
   Пример 9. y = | 2 cos π x − 1 |.
Составляем "цепочку", например, так:    Строим последовательно графики функций 1) - 3). Для контроля и большей точности построения найдем точки пересечения искомого графика с осью абсцисс. Полагая у = 0, получаем | 2 cos π х − 1 | = 0, или 2 cos π х - 1 = 0, или cos π х = 1/2, откуда π x = 2 k π ± , т.е. x = 2 k ± 1/3, где k = 0, ± 1, ± 2, ….
   Пример 10. .
   Составим "цепочку", например, так: Строим последовательно графики функций 1) − 3). Для более точного построения графика 3) найдём точку пересечения с осью ординат; при х = 0 получим y = - tg ½ ≈ − tg ≈ 0,6.
   Пример 11. y = − ctg | x + 1 |.
   Составим "цепочку", например, так: Теперь cтроим последовательно графики функций 1) − 4).
   Пример 12. y = arcsin ( | x | − 1 ).
   Составляем "цепочку": Строим последовательно графики функций 1) - 3).
   Пример 13. .
  Составим "цепочку": Строим последовательно графики функций 1) - 3).
   Пример 14. y = | arctg 2 x + 1 |.
   Составим "цепочку": Строим последовательно графики функций 1) - 4).
   Пример 15. y = arcctg | 1 − x |.
   Составим "цепочку":    Строим последовательно графики функций 1) − 3). График заданной функции пересекает ось ординат в точке, где
y = arcctg 1 = ≈ 3/4.
   Замечание. Не следует думать, что график любой функции может быть получен из графиков простейших функций путем элементарных преобразований. Например, график функции y = log2 ( х2 − 1) не может быть получен из графика функции y = log2 x за счет рассмотренных геометрических преобразований.