Объем любого конуса
Равновеликие конусы
Объем пирамиды
Объем кругового конуса
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ОБЪЕМ КОНУСА

   Теорема. Объем любого конуса К равен одной трети произведения площади его основания на высоту:
.                        (8)
   Доказательство. Разделим высоту Н на n равных отрезков и через точки деления О1, О2, ..., Оn - 1 (считаем от вершины S) проведем плоскости, параллельные основанию F. Полученные сечения обозначим через F1, F2, ..., Fn - 1, а их площади соответственно через S1, S2, ..., Sn - 1. Принимая каждое из сечений за верхнее основание, построим цилиндрические тела с равными высотами . Мы получим ступенчатое тело содержащееся внутри К. Следовательно, это входящее тело. Его объем легко подсчитать.
   Так как
SO1 = h, SO2 = 2 h, …, SOn - 1 = (n - 1) h,
то согласно свойству параллельных сечений конуса (теорема 3 § 3 гл. XVII).
Объем , равен сумме объемов цилиндрических тел:
.
Используя формулу § 6 гл. V
и полагая в ней k = n - 1, находим
.
   Чтобы получить выходящее тело , построим на основании конуса и на каждом сечении, как на нижнем основании, цилиндрические тела с равными высотами . Вычислим объем полученного тела:
Пусть теперь n неограниченно возрастает. Так как
,
то
                        (*)
   Согласно определению объема тела (§ 1), из равенства (*) имеем
,
что и требовалось доказать.
   Замечание. Если высота SO лежит вне конуса, то вместо прямых цилиндрических тел будем строить наклонные цилиндрические тела. Все остальные рассуждения доказательства остаются без изменения.
   Следствие 1. Конусы, имеющие равновеликие основания и равные высоты, равновелики.
   С помощью формулы (8) можно находить объемы таких конусов, площади оснований которых мы умеем вычислять. К таким конусам относятся, например пирамиды, в основании которых лежат многоугольники, круговые конусы и др.
   Следствие 2. Объем пирамиды равен произведению площади основания на треть высоты:
.                        (9)
   Следствие 3. Объем кругового конуса равен произведению площади круга, лежащего в основании, на треть высоты:
,                        (10)
где R – радиус основания, а Н – высота.