Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Пример 7
Пример 8
Пример 9
Пример 10
Пример 11
Пример 12
Пример 13
Пример 14
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 5. ЗАДАЧИ

   Прогрессии определяются двумя элементами: первым членом и разностью в случае арифметической и первым членом и знаменателем в случае геометрической прогрессии. Если прогрессии конечны, то для их определения нужно знать и n -
число членов.
   Пример 1. Найти все прогрессии, являющиеся одновременно и геометрическими и арифметическими.
   Решение. Пусть числа а1, а2, ... , аn, ... составляют геометрическую прогрессию. Тогда an = a1·qn - 1. Так как они составляют и арифметическую прогрессию, то по свойству 2 (§ 2) ak + 1 + аk + 3 = 2 ak + 2, т.е.
a1 qk + a1 qk+2 -2 a1qk + 1 = 0.
Сокращая на а1 qk(а1 ≠ 0, q = ≠ 0), получаем уравнение (q - 1)2 = 0, откуда следует, что q = 1 и данная прогрессия есть последовательность равных чисел а1, а1, ... , а1, ... .
   Вывод. Только последовательность равных чисел является одновременно и геометрической и арифметической прогрессией.
   Отсюда вытекает, что арифметическая прогрессия а1, а2, ... , аn, ... и геометрическая прогрессия b1, b2, ..., bn, ..., у которых не все ai = bi не могут иметь равными любую тройку своих последовательных членов, так как из условия ai = bk, ai + 1 = bk + 1, ai + 2 = bk + 2 вытекает, что bn = an для всех n.
Случай ai = bk и ai + 1 = bk + 1 возможен.
   Пример 2. Даны две возрастающие прогрессии с положительными членами: геометрическая b1, b2, ..., bn, ... и арифметическая а1, а2, ..., аn, ..., у которых а1 = b1 и а2 = b2. Доказать, что аn < bn при n ≥ 3.
   Решение. Из условия а1 = b1 и а2 = b2 следует, что a1 + d = a1 q. Поэтому d = a1 (q - 1) и an = a1 + d (n - 1) = а1 + а1 (n - 1)(q - 1). Таким образом, наша задача сводится к доказательству неравенства
al + al (n - 1) (q - l) < a1 qn -l,
или
( n - 1) ( q - 1) < qn - l - l                     (а1 ≠ 0).
Раскладывая правую часть последнего неравенства на множители, получаем
(n - 1) (q - 1) < (q - 1) (qn - 1 + qn - 2 + … + q + 1),
n - 1 < qn - 1 + qn - 2 + … + q + 1.
Последнее, очевидно, так как q > 1.
   Пример 3. Найти все прямоугольные треугольники, стороны которых составляют: 1) арифметическую прогрессию, 2) геометрическую прогрессию.
   Решение..
  1. Пусть a, a + d, a + 2d - стороны прямоугольного треугольника, где а > 0 и d > 0. Тогда
    (a + 2d) = a2 + (a + d)2.
    После приведения подобных членов и группировки получаем
    (a + d) (3d -a) = 0.
    Так как a + d > 0, то a = 3d. Итак, стороны искомых треугольников равны соответственно 3d, 4d, 5d, где d - любое положительное число.
  2. Пусть a, a q, a q2 - стороны прямоугольного треугольника, где a > 0, q > 1. Тогда a2 q4 = a2 + a2 q2. Решая это уравнение, находим, что ( корень уравнения отбрасываем ). Итак, стороны искомых треугольников равны соответственно
    где а - любое положительное число.
   Пример 4. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет арифметической. Но если после этого увеличить последнее число на 64, то прогрессия снова станет геометрической. Найти эти числа.
   Решение. Можно решать задачу с тремя неизвестными а, b, с и свести ее к следующей системе уравнений:
Однако проще свести задачу к системе двух уравнений с двумя неизвестными. Обозначая числа через a, a q и a q2, имеем
Упрощая второе уравнение, получаем
a q + 4 - 4 a = 0.
Исключая из первого и полученного уравнения а, имеем
q2 + 2q - 15 = 0,
откуда следует, что q1 = 3; q2 = -5, . Таким образом, мы получили две геометрические прогрессии
÷÷ 4, 12, 36 и ÷÷ 4/9, - 20/9, 100/9.
   Пример 5. Найти четыре действительных числа, из которых первые три составляют геометрическую, а последние три - арифметическую прогрессию. Сумма крайних членов равна 14, а сумма средних 12.
   Решение. Четыре неизвестных числа х, у, z и t выразим через две а и q.
   Первые три числа: a, a q, a q2. Чтобы выразить через а и q четвертое число t, заметим, что числа a q, a q2 и t составляют арифметическую прогрессию и по свойству 2 (см. § 2) t = 2 a q2 - a q.
   Для определения а и q имеем систему двух уравнений
Исключая из этой системы а, получаем квадратное уравнение 5 q2 - 13 q + 6 = 0, откуда находим: q1 = 2; q2 = 3/5.
Соответствующие значения а равны 2 и 25/2. Итак, мы получили два решения:
2, 4, 8, 12 и 25/2, 15/2, 9/2, 3/2.
   Пример 6. Три числа, сумма которых равна 114, можно рассматривать как три последовательных члена геометрической или как первый, четвертый и двадцать пятый члены арифметической прогрессии. Найти эти числа.
   Решение. Прежде всего возникает вопрос, как обозначить неизвестные три числа - как члены арифметической или как члены геометрической прогрессии?
   Если их обозначить как члены геометрической прогрессии: а, a q и a q2, то из условия задачи имеем следующие три уравнения:
где d - промежуточная неизвестная величина. Если же их обозначить как члены арифметической прогрессии a, a + 3d, a + 24d, то имеем два уравнения:
Этот способ, очевидно, предпочтительней. Упрощая последнюю систему, находим
Решая эту систему, находим два решения: 38, 38, 38 и 2, 14, 98.
   Первый член геометрической прогрессии порой выгодно обозначать через a/qk , где k - некоторое натуральное число) такоt обозначение может упростить решение задачи. Аналогично для арифметической прогрессии - первый член равен а - d (k - 1).
   Пример 7. Определить три числа, образующие геометрическую прогрессию, если сумма их равна 21, а сумма обратных величин равна 7/12.
   Решение. Искомые числа обозначим через a/q, a, aq. Из условий задачи имеем
или
Деля первое уравнение на второе (), находим
a2 = 36, a = ± 6, q2 + q + 1 = ±3,5 q.
Для а = 6 получаем:
q1(1) = 1/2; q2(1) = 2.
Для а = - 6 получаем:
Таким образом, мы получаем четыре решения:
   Замечание. Прогрессии а1, а2, а3 и а3, a2, а1 считаются различными.
   Пример 8. Определить стороны треугольника, если они выражаются целыми числами, образующими арифметическую прогрессию, причем периметр треугольника равен 15.
   Решение. Выгодно обозначить стороны треугольника через а - d, a, a + d (d ≥ 0, a > d). Тогда из условий имеем а - d + a + a + d = 15, т. е. а = 5.
   Так как в треугольнике a + d < (a - d) + a, то d < a/2 и целое. Следовательно, d = 0, d = l и d = 2. Получаем три решения: 5, 5, 5; 4, 5, 6 и 3, 5, 7.
   Очевидно, что если числа а1, а2, ..., аn образуют прогрессию, арифметическую или геометрическую, то числа аn, аn - 1, ..., а1, записанные в обратном порядке, образуют также прогрессию, арифметическую или геометрическую соответственно. При этом, если d - разность первой прогрессии, то - d - разность второй (для геометрической: q - знаменатель первой прогрессии, 1/q - знаменатель второй).
   Используем это замечание при решении следующей задачи.
   Пример 9. Найти числа, составляющие арифметическую прогрессию, зная, что сумма первых четырех членов равна 68, сумма последних четырех членов равна - 36, а сумма всех членов равна 68.
   Решение. Сумма последних четырех членов прогрессии а1, а2, ..., аn с разностью d есть сумма первых четырех членов прогрессии аn, аn - 1, .... а2, а1 с разностью - d. Следовательно, согласно формуле (9') из условия задачи имеем
Складывая два первые уравнения системы, находим, что а1 + аn = 8. Тогда из третьего уравнения следует, что n =17. Дальнейшее решение очевидно. Решив систему
получаем a1 = 20, d = - 2.
   Как в геометрической, так и в арифметической прогрессии любой член ak можно выразить через любой другой член аl соответственно по формулам
ak = al·qk - l и ak = al + d ( k - l ).
   Пример 10. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, даны аm + n = А и аm - n = В. Найти аm и аn.
   Решение. Так как am + n = am - n·qm + n - ( m - n ), то A = B·q2n, откуда (берем арифметическое значение корня, так как q > 0 по условию).
   Теперь находим аm и аn:
   Замечание. Член аm можно найти сразу, воспользовавшись свойством 2 (§ 3). Так как члены аm + n и аm - n равноудалены от аm, то
   При решении некоторых задач полезно использовать следующее свойство геометрической прогрессии.
   Если а1, a2, ..., аn, ... и b1, b2, ..., bn, ... - две геометрические прогрессии, то при любых действительных α, β и A ≠ 0 числа сn = А·(аn)α·(bn)β (n = 1, 2, ...) тоже образуют геометрическую прогрессию.
   В самом деле, если q1 - знаменатель первой прогрессии, a q2 - знаменатель второй прогрессии, то
и
где . Это означает, что последовательность с1, с2, ..., сn, ... есть геометрическая прогрессия, первый член которой равен , а знаменатель .
   Из этого свойства вытекают следующие частные случаи.
  1. Если а1, а2, ..., аn, ...- геометрическая прогрессия, то числа также образуют геометрическую прогрессию (достаточно взять А = 1 и bn = 1).
  2. Если а1, а2, ..., аn, ...- геометрическая прогрессия, то числа Аа1, Аа2, ...,А аn, ... также образуют геометрическую прогрессию.
   Приведем несколько задач, при решении которых используются эти свойства.
   Пример 11. Последовательность чисел образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна 8. Найти эту прогрессию, если сумма их кубов равна 512/7.
   Решение. Согласно доказанному кубы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии также образуют геометрическую прогрессию, причем бесконечно убывающую, так как | q3 | < 1, если | q | < 1.
   Обозначая через а первый член, а через q знаменатель данной прогрессии, согласно формуле (18) имеем
Первый член новой прогрессии равен а3, ее знаменатель q3, поэтому
Решая систему
находим q1 = ½, q2 = 2 (не годится), а = 4. Следовательно, ÷÷ 4, 2, 1, ½, … - искомая прогрессия.
   Пример 12. Доказать, что если члены ар, aq, аr и as арифметической прогрессии составляют геометрическую прогрессию, то p - q, q - r и r - s будут последовательными членами геометрической прогрессии.
   Решение. Четыре последовательных члена геометрической прогрессии дают следующий ряд равных отношений:
Составляя производную пропорцию (см. гл. II), получаем
                     (19)
Ho aq - ap = d ( q - p ), ar - aq = d ( r - q ), as - ar = d ( s - r ) - по свойству членов арифметической прогрессии (см. указания к примеру 10). Тогда из пропорции (19) следует, что
где А - величина равных отношений, или q - р = А - аp , r - q = A - aq , s - r = A - ar. Числа q - р, r - q, s - r пропорциональны последовательным членам геометрической прогрессии и, следовательно, также образуют геометрическую прогрессию.
   Пример 13. Даны две геометрические прогрессии, состоящие из одинакового числа членов. Первый член первой прогрессии равен 20, знаменатель ее ¾. Первый член второй прогрессии равен 4, а знаменатель 2/3. Если перемножить члены этих прогрессий с одинаковыми номерами, то сумма всех таких произведений равна 158 ¾. Найти число членов этих прогрессий.
   Решение. Пусть al, а2, а3, ..., аn - первая прогрессия и bl, b2, b3, ..., bn - вторая прогрессия. Тогда последовательность а1b1, a2b2, a3b3, ..., аnbn также является геометрической прогрессией, первый член которой а1b1 = 80 и q = q1·q2 = ½. По формуле суммы n членов геометрической прогрессии имеем
,
или
Решая последнее уравнение относительно n, находим , т. е. n = 7.
   В замечаниях, сделанных в конце § 2 и 3, мы показали, что как для арифметической, так и для геометрической прогрессии существуют три эквивалентных между собой определения. В каких случаях выгодно брать то или иное определение, зависит от условий задач.
   Пример 14. Доказать, что если положительные числа a, b, с образуют арифметическую прогрессию, то числа
также образуют арифметическую прогрессию.
   Решение. Покажем, что
при условии, что а, b и с образуют арифметическую прогрессию, т. е. 2 b = а + с. Имеем:
Следовательно, числа
,
из которых второе есть среднее арифметическое крайних, образуют арифметическую прогрессию.