12_5

ВВЕРХ

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Пример 7

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

Пример 14

Пример 15

Пример 16

Пример 17

Пример 18

Пример 19

Пример 20

Пример 21

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

§ 5. ЗАДАЧИ

Пример 1. Найти область определения следующих функций:

Решение 1. Арксинус определен для всех значений аргумента, не превосходящих по абсолютной величине единицы. Следовательно, область определения данной функции состоит из всех значений х, удовлетворяющих неравенству

Решая его, находим

. Итак, область определения функции

есть отрезок [- 1, 1/3].
2. Область определения этой функции состоит из всех значений х, для которых -l ≤ x/2 ≤ l и π - 4 arccos (x/2) ≥ 0, или | х | ≤ 2 и

. Учитывая, что

, последнее неравенство можно переписать в виде

. (21) Так как арккосинус монотонно убывает в области своего определения, то из неравенства (21) следует, что

причем этот отрезок содержится в отрезке [-2, 2].
Итак, область определения функции

есть отрезок

.
Пример 2. Вычислить arcsin (sin 257°).
Решение. 1. Так как arcsin (sin x) = x лишь в том случае когда | х | ≤

(см. § 1), то sin 257* нужно с помощью формул приведения свести к синусу угла, заключенного в указанных пределах. Имеем sin 257° = sin (180° + 77°) = - sin 77° = sin (- 77π/180) , причем | - 77π/180 | <

.
Поэтому arcsin (sin 257°) = arcsin [ sin ( - 77π/180) ] = - 77π/180 (напомним, что arcsin x выражается только в радианах).
Пример 3. Вычислить arcctg [ ctg( - π/11)].
Решение. Заметим, что arcctg (ctg x) = х лишь в том случае, когда 0 < х < π. Так как π - период котангенса, то

. Пример 4. Вычислить arctg (tg 6).
Решение. Имеем arctg (tg x) = х, если | х | <

. В силу периодичности тангенса tg 6 = tg (6 - 2π), причем -

< 6 - 2π < 0. Поэтому arctg (tg 6) = arctg [tg (6 - 2π)] = 6 - 2π. Пример 5. Вычислить arccos [sin (- 3)].
Решение. Прежде всего переходим от sin(-3) к косинусу дополнительного аргумента: sin(- 3) = cos(

+ 3). Но arccos (cos x) = x в том случае, когда 0 ≤ x ≤ π, а

+ 3 > π. Поэтому, используя формулу cos α = - cos (α - π), получаем cos(

+ 3) = - соs(

+ 3 - π) = - соs (3 -

), причем 0 < 3 -

< π. Тогда согласно тождествам (19) и (8) arccos [sin (-3)] = arccos [ - cos ( 3 -

) ] = π - arccos [ cos (3 -

)] = π - ( 3 -

) ) =

- 3. Пример 6. Определить знак выражения

Решение. Укажем границы, в которых лежат значения выражений, стоящих в скобках, и определим знак каждого сомножителя:

а) из неравенства и возрастания арктангенса следует, что . Учитывая, что arctg 0 = 0, , получаем и . Так как , то , следовательно,
б) из неравенства и убывания арккосинуса следует, что . Учитывая, что , получаем и . (22) Далее из неравенства и возрастания арксинуса следует, что Учитывая, что , получаем . (23) Таким образом, из неравенств (22) и (23) вытекает, что Следовательно, .
Итак, данное выражение как произведение двух чисел различных знаков отрицательно.

Для сокращения будем называть все обратные тригонометрические функции arcsin х, arccos x, arctg x и arcctg x аркфункциями. При решении многих задач, связанных с обратными тригонометрическими функциями, удобно выражать одну из аркфункций через другие. При этом можно учитывать следующие их свойства:

Если аргумент данной аркфункций положителен, то ее значение лежит в промежутках (0, ] или (0, ) и эта аркфункция может быть выражена через любую из остальных. В этом случае можно рассматривать данную аркфункцию как радианную меру острого угла в прямоугольном треугольнике (см. гл. IX и пример 7 этого параграфа).
Если аргумент данной аркфункций отрицателен, то ее значение лежит либо в промежутках [- , 0) ( арксинус и арктангенс) или (- , 0) (арккосинус и и арккотангенс). Чтобы перейти от отрицательных аргументов к положительным, следует использовать тождества arcsin (- х) = - arcsin х, arctg (- х) = - arctg x и arccos (- х) = π - arccos x, arcctg (- х) = π - arcctg x.

Пример 7. Выразить

через все остальные аркфункции.
Решение. I способ. Обозначая α =

, имеем

, причем 0 < α <

. Найдем остальные тригонометрические функции угла α:

Отсюда следует, что

II способ. Так как 0 <

, то

можно рассматривать как радианную меру острого угла в прямоугольном треугольнике, в котором противолежащий ему катета a = 7, гипотенуза

. По теореме Пифагора находим другой катет

. Теперь в треугольнике нам известны все три стороны. Поэтому тот же угол α можно рассматривать как арккосинус или арктангенс, или арккотангенс соответствующих чисел. Именно:

Пример 8. Выразить

через все остальные аркфункции.
Решение. Данная аркфункция определена для всех действительных значении х, удовлетворяющих неравенствам

, | х | ≤ 1. Отсюда находим, что | х | ≤ 1.
Так как

, то данный арккосинус непосредственно выражается только через арккотангенс. Чтобы его выразить через остальные аркфункций, воспользуемся тождеством

, (24) где

Теперь

можно рассматривать как радианную меру угла α в прямоугольном треугольнике, в котором прилежащий к этому углу катет

, | х | < 1, гипотенуза с = 1,5 - х, противолежащий катет

. Поэтому, зная sin α, tg α и ctg α, можем записать

(Если | x | = 1, то

, и мы имеем arccos 0 = arcsin 1 = arcctg 0.) Возвращаясь к равенству (24), окончательно получаем

, | x | < 1, причем

. При вычислении тригонометрических функций от аркфункций и их комбинаций используют основные тождества, выведенные в гл. IX и X, и тождества (2), (8), (13), (17) - (20) этой главы.
Пример 9. Вычислить cos (arctg х).
Решение. Обозначая α = arctg x, имеем tg α = x, причем -

< α <

. Таким образом, наша задача сводится к уже известной: найти cos α, если tg α = x и | α | <

. Согласно тождеству 1 + tg²α = sec²α (α ≠ π/2 + π k) имеем

(перед радикалом берется знак "+", так как в указанных пределах cos α > 0).
Пример 10. Вычислить

.
Решение. Обозначая

, имеем

, где -

< α < π. Таким образом, наша задача сводится к отысканию tg 2α, если -

< α < π и

. Решая эту, уже знакомую нам задачу, получаем

(

перед радикалом берется знак «–», так как в указанных пределах tg α < 0).
Пример 11. Вычислить cos (arcsin x + 2 arccos x).
Решение. Обозначая α = arcsin х и β = arccos х, имеем sin α = х, cos β = y, где 0 ≤ β ≤ α, -

≤ α ≤

. Таким образом, задача сводится к отысканию cos(α + 2 β) по известным значениям sin α и cos β. Раскрывая косинус суммы, находим cos (α + 2 β) = cos α·cos 2β - sin α·sin 2β = = cos α (cos² β - sin² β) - 2 sin α· sin β·cos β, где

, a

(оба радикала берутся со знаком "+", так как cos α ≥ 0 и sin β ≥ 0). Поэтому получаем

   Пример 12. Вычислить arctg 2 + arctg 3.
   Решение. Обозначая искомую величину через A: arctg 2 + + arctg 3 = А, вычислим tg A.
   Имеем

Теперь остается найти А по заданному значению тангенса этого аргумента. Для того чтобы эта задача была однозначной, нужно указать пределы изменения А. Так как

< arctg 2< <

< arctg 3 <

, то

< arctg 2 + arctg 3 < π, т. е. аргумент А оканчивается во II четверти. Следовательно, А = 3π/4.
Пример 13. Вычислить А = arcsin a + arccos b, где 0 < а < 1 и 0 < b <1.
Решение. Так как 0 < arcsin a <

и 0 < arccos b <

, то 0 < arccos b + arcsin a < π. На интервале (0, π) функция синус не монотонна и A по найденному значению sin А определяется неоднозначно. На этом же интервале косинус монотонно убывает, следовательно, по найденному значению cos А значение А определяется однозначно. Поэтому будем вычислять соэ A:

Итак,

. Поэтому

.    При решении уравнений, связанных с аркфункциями, испольвуется свойство однозначности тригонометрических функций, заключающееся в том, что равным аргументам соответствуют равные значения одноименных тригонометрических функций, если они имеют смысл для этих аргументов.
   Вычисляя эти функции от аргументов, заданных в виде аркфункций, получаем более простое уравнение (например, алгебраическое). Проверка корней необходима, так как из условия равенства одноименных тригонометрических функций не всегда следует равенство их аргументов.
   Пример 14. Решить уравнение

.
Решение. Область допустимых значений | х | ≤ 1. Приравнивая синусы правой и левой части заданного уравнения и учитывая, что sin (arcsin a) = а и

при любом -l ≤ a ≤ l, получаем

Таким образом, имеем

. Выделяя корень х = 0, после необходимых преобразований находим 25 - 9 х² = 16, х = ± 1. Итак, мы получили три корня х₁ = 0, x_2,3 = ± l. Непосредственной подстановкой их в исходное уравнение убеждаемся, что все они годятся. Например, для x = 1:

Пример 15. Решить уравнение

.
Решение. Как легко заметить, х > 0 не может быть корнем уравнения (при х > 0, очевидно,

). Переписав данное уравнение в виде

, перейдем к равенству тангенсов левой и правой его части:

, откуда следует, что

, т. е.

. Выделяя корень x = 0, после необходимых преобразований получаем (х - 3)·(x² + 3 x + 7) = 0, откуда находим х = 3 (второе уравнение не имеет действительных корней). Однако это число положительно и не удовлетворяет заданному уравнению. Итак, х = 0 - единственный корень уравнения (arctg 0 + arctg 0 + arctg 0 = 0 = arctg 0).
   Пример 16. Решить уравнение 2 arcsin x + arccos (1 - х) = 0.
   Решение. Область допустимых значений-множество всех х, удовлетворяющих неравенствам | х | ≤ 1 и |1 - х| ≤ 1; отсюда следует, что 0 ≤ х ≤ 1.
   Приглядимся к уравнению повнимательней.
   Так как 0 ≤ х ≤ 1, то 0 ≤ 2 arcsin х ≤ π и 0 ≤ arccos(1 - х) ≤

. Поэтому сумма этих выражений равна нулю в том и только в том случае, когда оба слагаемые обращаются в нуль одновременно, т. е. 2 arcsin х = 0 и arccos (1 - х) = 0. Последнее выполняется только при х = 0. Итак, х = 0 - единственный корень этого уравнения.
Пример 17. Решить уравнение (arcsin x)³ + (arccos x)³ = π³.
Решение. Используя тождество а³ + b³ = (а + b)³ - 3 ab(a + b) и учитывая, что a + b = arcsin x + arccos x =

, имеем

, или

. (25) Полагая y = arcsin x ( | y | ≤

) и тем самым arccos х =

- у [см. формулу (17)] получаем квадратное уравнение

, корни которого по абсолютной величине больше у. Следовательно, данное уравнение не имеет решений. Заметим, что в этом можно убедиться непосредственным анализом данного уравнения.
Пример 18. Решить систему

Решение. Выразим все аркфункции через одну, например арккосинус через арксинус. Имеем

После упрощения второго уравнения получаем

Таким образом, arcsin x и arcsin у являются корнями квадратного уравнения

. Решая его, находим

.
Возвращаясь к неизвестным x и у, имеем:

1) , откуда ;
2) ; тогда .

Итак, данная система имеет два решения.

Доказательство тождеств

   Пусть требуется доказать тождество А = В, где А и В - обратные тригонометрические функции или их комбинация.
   Непосредственно (прикидкой) выделяем промежуток, в котором лежат значения А и В, а затем берем ту тригонометрическую функцию, которая монотонна на этом промежутке. Тогда из равенства значений этой функции от аргументов А и В будет следовать искомое равенство А = В. Например, если А и В лежат в промежутке (0, π), то берем функцию косинус (или котангенс). Тогда из равенства cos A = cos В (или ctg A = ctg B) следует, что А = В.
   Из нескольких функций, монотонных на указанном промежутке, целесообразно выбрать ту, при которой доказываемое тождество сводится к более простому.
   Поясним сказанное следующими примерами.
   Пример 19. Доказать тождество