График функции y = sin x
График функции у = cos х
График функции y = tg x
График функции y = ctg x
График простого гармонического колебания (гармоника)
Пример
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 4. ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

(Интервалы знакопостоянства тригонометрических функций)
(Функция y = sin x и её график)
(Функция y = cos x и её график)
(Функция y = tg x и её график (часть 1) )
(Функция y = tg x и её график (часть 2) )
   Дальнейшие свойства тригонометрических функций мы получим при анализе их графиков.
  1. График функции y = sin x. Возьмем окружность единичного радиуса с центром в точке (- 1, 0) и разделим на m равных частей верхнюю полуокружность (смотри рисунок.). Точки деления обозначим через A0, A1, ..., Аm (нумерация производится против часовой стрелки). На то же число m равных частей разделим отрезок [0, π] оси абсцисс. Точки деления обозначим через x0 = 0, xl, х2, ..., хm = π.Очевидно, что sin x равен ординате точки Аk окружности. Поэтому, проведя из х0, х1, х2, ..., хm вертикали и спроектировав на них А0, А1, ..., Аm соответственно, мы найдем ряд точек М0, Ml, ..., Мm, лежащих на искомом графике. Теперь соединим их плавной кривой и мы получим график синуса на отрезке [0, π]. Используя свойство нечетности, а затем периодичности синуса, строим его график сначала на отрезке [- π, 0], а затем на всей числовой оси. Полученная кривая называется синусоидой, а каждая ее часть, соответствующая отрезкам [0, 2π], [2π, 4π], ... или [- π, π], [π, Зπ] и т.д., называется волной синусоиды.
       Замечания.
    • 1)    так как sin x < x: (см. § 5), то синусоида лежит ниже биссектрисы I координатного угла и выше биссектрисы III координатного угла;
    • 2)    при соединении точек М0, М1, ..., Мm полезно учесть, что график функции у = sin х выпуклый на интервале (0, π). В самом деле, условием выпуклости в нашем случае является выполнение неравенства
      ,
      или
      ,
      где 0 < x1 < x2 < π. Последнее неравенство равносильно неравенству
      или
      (см. гл. X, п.2). Последнее очевидно, так как .
       Мы видим, что функция y = sin x:
    • 1)    монотонно возрастает от -1 до 1 на каждом из промежутков , принимая при этом все значения от - 1 до 1, и монотонно убывает от 1 до - 1 на каждом из промежутков , принимая при этом все значения от 1 до - 1;
    • 2)   принимает наибольшее значение, равное 1, при и наименьшее значение, равное - 1, при ;
    • 3)   обращается в нуль при x = n k.
  2. График функции у = cos х. Так как cos x = sin (x + π/2) (см. гл. X), то график функции y = cos x получается сдвигом графика у = sin х на π/2 единиц влево вдоль оси Ох (см. гл. VII, § 8). Полученная кривая (косинусоида) симметрична относительно оси Оу (смотри рисунок.).
       Мы видим, что функция y = cos x:
    • 1)    монотонно возрастает от -1 до 1 на каждом из промежутков [π + 2πk, 2π + 2πk], принимая при этом все промежуточные значения от -1 до 1, и монотонно убывает от 1 до -1 на каждом из промежутков [2 π k, π + 2 π k], принимая при этом все значения от 1 до -1;
    • 2)    принимает наибольшее значение, равное 1, при x = 2 π k и наименьшее значение, равное -1, при х = π + 2 π k;
    • 3)    обращается в нуль при .
  3. График функции y = tg x. Проведем единичную окружность с центром в точке (-1, 0) (смотри рисунок.).
       Разделив дугу I четверти на m равных частей, получаем точки A0, A2, ..., Аm = (A0 = 0).Проведем радиусы OA0, OA2, ..., OАm-1 и продолжим их до пересечения с осью Оу в точках С0, С1, С2, ..., Сm-1. Одновременно разделим отрезок [0, ] оси Ох на m равных частей точками х0 = 0, x1, … xm = . Очевидно, значение тангенса в точке xk численно равно длине отрезка OCk(k = 0, 1, 2, ..., m - 1). Поэтому, проведя вертикали из точек х0, х1, ..., хm-1 и спроектировав на них точки С0, С1, ..., Сm-1 соответственно, находим точки М0, Ml, ..., Мm-1, лежащие на графике y = tg x. Соединив их плавной кривой, получаем график функции y = tg x на промежутке (0, π/2) (смотри рисунок.).
       Замечания.
    • 1)    из неравенства tg x > x для 0 < х < π/2 (см. гл. IX, § 5) следует, что график y = tg x на интервале (О, π/2) лежит выше биссектрисы I координатного угла;
    • 2)    при соединении точек М0, М2, ..., Мm-1 полезно учесть, что график функции y = tg x вогнутый на промежутке (0, π/2). В самом деле, условием вогнутости в нашем случае является выполнение неравенства
      или
      где 0 < x1 < х2 < π/2 и, следовательно . Используя формулы (38) и (50) гл. X, получаем равносильное неравенство
      ,
      которое равносильно, в свою очередь, неравенству
      2 cos x1·cos x2 < 1 + cos (x1 + x2).
      Переходя в левой части от произведения к сумме (см. формулу (25) гл. X), получим неравенство
      cos (x1 + x2) + cos (x1 - x2) < 1 + cos (x1 + x2),
      или cos (x1 - x2) < 1, которое очевидно.
    Используя нечетность и периодичность тангенса (Т = π), строим его график вначале на интервале (- π/2, 0), а затем на всей числовой оси (смотри рисунок.).
       График функции y = tg x называется тангенсоидой. Тангенсоида состоит из ряда отдельных одинаковых частей (ветвей), на которые она распадается при прохождении аргумента х через точки x = + n π. Поэтому достаточно рассмотреть одну из таких ветвей, например, на интервале ( - , ). На этом интервале y = tg x возрастает, принимая при этом все значения, как положительные, так и отрицательные. Если аргумент приближается к правому концу интервала, то функция y = tg x неограниченно возрастает.
       Это означает, что для любого М > 0 существует интервал (; π/2), в котором tg x > М (см. гл. VII, п. 6). В этом случае говорят, что tg x стремится к положительной бесконечности, когда х стремится к π/2, оставаясь все время меньше π/2, и пишут
       Если аргумент х приближается к левому концу указанного интервала, то функция y = tg x неограниченно убывает.
       Это означает, что для любого М > 0 существует интервал ( - , ) , в котором tg x < - M. В этом случае пишут
       Прямые x = + π k являются вертикальными асимптотами тангенсоиды.
  4. График функции y = ctg x. Так как ctg x = - tg (x - ), то, согласно правилам I и VII (гл. VII, § 8) график котангенса получается из графика тангенса путем двух преобразований: сначала сдвигаем тангенсоиду y = tg x на единиц вправо вдоль оси Ох, а затем полученный график y = tg (x - ) отображаем симметрично относительно оси абсцисс (смотри рисунок.).
       График функции y = ctg x называется котангенсоидой. Он состоит из одинаковых ветвей, соответствующих интервалам (π k, π + π k). На каждом из этих интервалов y = ctg x монотонно убывает, причем
       и   .
       Прямые x = π k являются его вертикальными асимптотами.
  5. График простого гармонического колебания (гармоника). Простое гармоническое колебание описывается уравнением у = A sin(ω x + φ), где A > 0 называется амплитудой, ω - частотой, а φ - начальной фазой. Если представить эту функцию в виде , то мы видим, что ее график получается из графика y = sin x путем следующих его последовательных преобразований.
    1. Согласно правилу VI, гл. VII, § 8 сжатием вдоль оси Ох с коэффициентом со из графика у = sin x получаем график y = sin ω x (смотри рисунок.).
    2. Сдвигая кривую y = sin ω x вдоль оси Ox на отрезок , если φ/ω < 0, и влево, если φ/ω > 0, получаем график функции (смотри рисунок.).
    3. Растягивая кривую вдоль оси Оу с коэфициентом А, получаем требуемый график или y = A sin (ω x + φ) (смотри рисунок.).
       Так как функция у = A sin (ω x + φ) периодическая с периодом (см. гл. VII, § 5), то достаточно построить ее график сначала на отрезке , а затем полученную основную волну гармоники продолжить периодически. Основная волна гармоники получается путем преобразований 1, 2, 3 основной волны синусоиды y = sin x, | х | ≤ π.
   Итак, график гармоники у = A sin (ω x + φ) есть синусоида с периодом Т = . Ее основная волна расположена внутри прямоугольника со сторонами у = ± А и x = ± - φ.
   Пример. Построить график функции
   Решение. Мы видим, что искомый график есть гармоника с амплитудой А =ь2, периодом Т = 4 π и начальной фазой φ = - π/6. Ее основная волна расположена в прямоугольнике со сторонами y = ± 2, х = ± 2π + π/3. Наибольшее значение А = 2 достигается при x = π + π/3, наименьшее - при x = - π + π/3(смотри рисунок.).